Text erkannt:
Aufgabe 1. (12 Punkte) Berechnen Sie für die folgenden, in \( x_{0} \) unendlich oft differenzierbaren Funktionen, alle Ableitungen \( f^{(k)}\left(x_{0}\right), n \in \mathbb{N}_{0} \). Geben Sie dann die jeweils zugehörige Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt \( x_{0} \) an. Die Taylor-Reihe ist eine Potenzreihe. Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
a) \( f(x)=\frac{1}{3-2 x}, x_{0}=0 \)
b) \( f(x)=\frac{1}{3-2 x}, x_{0}=4 \),
c) \( f(x)=\frac{x}{3-2 x}, x_{0}=0 \),
d) \( f(x)=\frac{1}{(3-2 x)^{5}}, x_{0}=4 \),
e) \( f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}, x_{0}=-3 \),
f) \( f(x)=\sin x-\cos x, x_{0}=-\pi \).
Hinweis: Berechnen Sie die \( k \)-ten Ableitungen in \( x_{0} \) für \( k=0,1,2,3, \ldots \) bis Sie eine Vermutung für die Gestalt der allgemeinen \( k \)-ten Ableitung gefunden haben. Begründen Sie dann diese Vermutung z. B. durch vollständige Induktion.
Aufgabe:
