Wir benutzen das Quotientenkriterium. Demnach lautet für die Potenzreihe
$$\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k $$
der Konvergenzradius
$$ r = \lim_{k\rightarrow \infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$$
Hier ist
$$a_k = \frac{k!}{k^k} $$
und damit
$$ r =\lim_{k\rightarrow \infty} \left|\frac{\frac{k!}{k^k}}{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}\right|\\ = \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \frac{1}{k+1}\\ = \lim_{k\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k = e$$
Damit konvergiert die Reihe solange
$$|x-1|\leq e$$
