Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius dieser Potenzreihe

Question

Aufgabe 1. (12 Punkte) Berechnen Sie für die folgenden, in \( x_{0} \) unendlich oft differenzierbaren Funktionen, alle Ableitungen \( f^{(k)}\left(x_{0}\right), n \in \mathbb{N}_{0} \). Geben Sie dann die jeweils zugehörige Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt \( x_{0} \) an. Die Taylor-Reihe ist eine Potenzreihe. Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
a) \( f(x)=\frac{1}{4-3 x}, x_{0}=0 \)
b) \( f(x)=\frac{1}{4-3 x}, \quad x_{0}=5 \)
c) \( f(x)=\frac{1}{(4-3 x)^{3}}, x_{0}=5 \)
d) \( f(x)=\frac{x}{4-3 x}, \quad x_{0}=0 \)
e) \( f(x)=\mathrm{e}^{-3 x}, x_{0}=-1 \),
f) \( f(x)=4 x \mathrm{e}^{-3 x}, x_{0}=0 \).
Hinweis: Berechnen Sie die \( k \)-ten Ableitungen in \( x_{0} \) für \( k=0,1,2,3, \ldots \) bis Sie eine Vermutung für die Gestalt der allgemeinen \( k \)-ten Ableitung gefunden haben. Begründen Sie dann diese Vermutung z. B. durch vollständige Induktion.

Problem/Ansatz:

Bräuchte eine Teilaufgabe vorgerechnet bitte um damit die anderen bearbeiten und verstehen zu können

Answer 1

b)

\( T(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ a_{n}}(x-x0)^n\) mit \( a_n = \frac{f^{(n)}(x0)}{n!} \)

\( f^{(0)}(x) = \frac{3}{(4-3x)} \)

\( f^{(1)}(x) = \frac{3}{(4-3x)^2} \)

\( f^{(2)}(x) = \frac{18}{(4-3x)^3} \)

\( f^{(3)}(x) = \frac{162}{(4-3x)^4} \) 

allgemein

\( f^{(n)}(x) = \frac{n!*3^{n}}{(4-3x)^{n+1}} \) , somit \( a_n = \frac{3^{n}}{(-11)^{n+1}} \)

Der Konvergenzradius von T(x) ergibt sich aus

\( \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{ a_n }{ a_{n+1} } | = \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{ \frac{3^{n}}{(-11)^{n+1}} }{ \frac{3^{n+1}}{(-11)^{n+2}} } | = \frac{11}{3} \)

T(x) konvergiert für \( | x - 5 | < \frac{11}{3} \)