Bestimmen sie die Basis der Eigenräume

Question

a) Sei die Matrix \( A=\left(a_{k, l}\right) \in \mathbb{C}^{n, n} \) gegeben durch

\( a_{k, l}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } k=l, \\ 1 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Zeigen Sie
    i. \( \lambda_{1}=-1 \) ist ( \( \left.n-1\right) \)-facher Eigenwert von \( A \),
    ii. \( \lambda_{2}=n-1 \) ist einfacher Eigenwert von \( A \),
und bestimmen Sie jeweils eine Basis der zugehörigen Eigenräume.
Hinweis: Benutzen Sie die besonders einfache Form von \( A+E_{n}=A-(-1) E_{n} \), um \( E_{A,-1} \) explizit zu berechnen.

Hilfe zur Bestimmung der Basis

Comments

Die Zeilensummen der Matrix \(A\) sind offenbar alle gleich. Ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_2=n-1\) ist daher \((1,1,\dots,1)^\top\in\mathbb C^n\).

Answer 1

Betrachten wir \(\lambda_1=-1\). Der Eigenraum zu diesem Eigenweert

ist der Kern von \(A-(\lambda_1)E_n=A+E_n\).

Diese Matrix besteht nur aus Einsen, alle Zeilen sind gleich,

d.h. der Rang ist \(1\), die Dimension des Kerns ist also

\(n-1\) und dies ist die geometrische Vielfachheit von \(\lambda_1\).

Da die algebraische Vielfachheit nicht kleiner sein kann,

ist auch diese = \(n-1\). Die Spur von \(A\) ist =\(0\). Bekanntermaßen ist das

die Summe der Eigenwerte, also \(0=(-1)+\cdots+(-1)+\lambda_2\).

Folglich ist \(\lambda_2=n-1\). Eine Basis der Eigenräume

zu finden sollte dir nicht schwer fallen.