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Aufgabe 1 Sei \( \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{K} \) eine Bilinearform und \( f: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus. Ferner seien \( \beta \) und \( f \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \) durch die Matrizen \( B \) bzw. \( F \) in \( \mathbb{K}^{n \times n} \) gegeben. Zeigen Sie:
a) Es gilt \( \beta(f(v), f(w))=\beta(v, w) \) für alle \( v, w \in V \) genau dann, wenn \( F^{t} B F=B \).
b) Es gilt \( \beta(f(v), w)=\beta(v, f(w)) \) für alle \( v, w \in V \) genau dann, wenn \( F^{t} B=B F \).
c) Ist \( \beta \) nichtdegeneriert und \( \beta(f(v), f(w))=\beta(v, w) \) für alle \( v, w \in V \), so sind \( B \) und \( F \) invertierbare Matrizen.
Im Folgenden sei \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) und \( B=E_{n} \) die Einheitsmatrix.
d) In diesem Fall ist \( \beta \) ein Skalarprodukt und \( \mathcal{B} \) eine Orthonormalbasis.
e) Es gilt \( \beta(f(v), f(w))=\beta(v, w) \) genau dann, wenn \( F \) eine orthogonale Matrix ist.
Problem/Ansatz:
Also ß(f(v),(f(w)) ist ja ß(f(v) + ß(f(w) oder? dann komm ich aber nicht auf =ß(v,w) egal ob bei a oder b, hab ich irgendwas falsch verstanden, kann mir das mal wer erklären?
Außerdem hab ich eine frage zu degeneriert, ich hatte diesen Begriff noch nicht, was heißt er und wie zeige ich dass am besten?
