Zeigen Sie, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(b) Die Funktionenfolge
\( f_{n}(x):=\frac{n^{2} x}{1+n^{3} x^{2}}, \quad x \in[0, \infty) \)
konvergiert punktweise zu \( f(x)=0 \). Zeigen Sie, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist.

Ich weiss leider nicht wie ich die gleichmäßige Konvergenz widerlegen soll bei dieser Aufgabe.

Ich weiss, dass man zeigen soll, dass Ι fn(x) - f(x) Ι > ε bzw. dass die Funktionenfolge nicht gegen 0 konvergiert. Ich komme aber leider nicht weiter.

P.S könnte ich die Supremumsnorm für die Funktion berechnen mit x=1/n und daraufhin der Grenzwert dieser berechnen(lim n->inf sup x ∈ [0, inf] \( \frac{n^{2} x}{1+n^{3} x^{2}},) \) ) und so zeigen, dass die Konvergenz punktweise und nicht gleichmäßig ist?

Ich wäre um eine Rückmeldung dankbar.

Answer 1

Hallo :-)

\((f_n)_{n\in \N}\) heißt gleichmäßig konvergent gegen \(f\) (hier also \(f=0\)), falls gilt:$$\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\geq N_{\varepsilon}\ \forall x\in [0,\infty[:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.$$

Mit Kurvendisskusion kannst du nachrechnen, dass \(f_n\) an der Stelle \(x_E=\frac{1}{\sqrt{n^3}}\) für alle \(n\in \N_{\geq 1}\) ein globales Maximum auf dem Intervall \([0,\infty[\) aufweist. Das ergibt für alle \(n\in \N_{\geq 1}\) den Funktionswert \(f_n(x_E)=\frac{\sqrt{n}}{2}\). Da \(f_n(x_E)=\frac{\sqrt{n}}{2}\geq \frac{1}{2}\) für alle \(n\in \N_{\geq 1}\) gilt, sieht man schon hier, dass die Funktionsfolge nicht gleichmäßig gegen \(f=0\) konvergiert. Noch deutlicher wird das bei Betrachtung der Negation zur gleichmäßigen Konvergenz:

$$\exists \varepsilon>0\ \forall N_{\varepsilon}\in \N \ \exists n\geq N_{\varepsilon}\ \exists x\in [0,\infty[:\ |f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon.$$

Man kann nun mit obiger Rechnung diese Negation folgendermaßen beweisen:

Wähle \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) und sei \(N_{\varepsilon}\in \N\) beliebig. Wähle außerdem \(n\in \N_{\geq 1}\) mit \(n=N_{\varepsilon}\) und \(x_E=\frac{1}{\sqrt{n^3}}\). Dann gilt

$$ |f_n(x_E)-f(x_E)|=|f_n(x_E)-0|=|f_n(x_E)|=\left|\frac{\sqrt{n}}{2}\right|=\frac{\sqrt{n}}{2}\stackrel{n\in \N_{\geq 1}}{\geq} \frac{1}{2}=\varepsilon.$$

Und damit ist die Funktionsfolge \((f_n)_{n\in \N}\) auf \([0,\infty[\) nicht gleichmäßig konvergent gegen \(f=0\).

Natürlich kannst du auch stattdessen einen anderen Wert für \(x\) einsetzen, um so ein spezielles \(\varepsilon>0\) zu finden. Tatsächlich bekommt man auch mit \(x_A=\frac{1}{n}\) einen Funktionswert \(f_n(x_A)=\underbrace{\frac{n}{n+1}\geq \frac{1}{2}}_{\text{Kann man direkt zeigen}}\) für alle \(n\in \N_{\geq 1}\)heraus. Der Beweis damit zur Widerlegung der gleichmäßigen Konvergenz geht analog. Mit Kurvendisskusion kann man aber auf jeden Fall Kandidaten für \(x\) finden, um gleichmäßige Konvergenz zu widerlegen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung und die ausführliche Antwort!

Answer 2

Siehst du die Besonderheit in der Nähe von x=0?

Comments

Ja die Funktion wird steiler in der Nähe von x=0 je näher n gegen inf geht, Ι fn(x) - f(x) Ι > ε wird erfüllt wenn das in der Nähe von x=0 steiler wird und somit auch , dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, passt das wenn ich die Supremumsnorm für die Funktion berechne mit x=1/n und daraufhin der Grenzwert dieser berechne (lim n->inf sup x ∈ [0, inf] \( \frac{n^{2} x}{1+n^{3} x^{2}},) \) ) um so zu zeigen, dass die Konvergenz punktweise und nicht gleichmäßig ist, da dieser ungleich 0 ist?