Bestimmen Sie eine Gerade aus einer Quadrik

Question

Sei die Quadrik \( Q=\left\{\left(x_{0}: x_{1}: x_{2}: x_{3}\right) \in \mathbb{P}^{3}(\mathbb{R}) \mid 5 x_{0}^{2}-5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}-5 x_{3}^{2}-6 x_{0} x_{2}-6 x_{1} x_{3}=0\right\} \subseteq \mathbb{P}^{2}(\mathbb{R}) \). Bestimmen Sie:

und eine projektive Gerade \( L \subseteq Q \). Hinweis: Bestimmen Sie zunächst eine Gerade in \( Q_{t, r} \).

\( Q_{t, r} \)=$$x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2$$

Ich habe gedacht einfach Punkte einzusetzen und die zu einer Geraden zu machen, aber Vielfache lösen die Gleichung nicht.

Answer 1

Zur Quadrik

\(x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2=0\)

Es ist

\(0=x_0^2-x_2^2+x_1^2-x_3^2=(x_0+x_2)(x_0-x_2)+(x_1+x_3)(x_1-x_3)\)

Die Lösungsmenge enthält alle \(x_0,x_1,x_2,x_3\) mit

\(x_0-x_2=0\) und \(x_1-x_3=0\).

Dieses LGS hat den Rang 2, also ist die Lösungsmenge

ein 2-dimensionaler Unterraum des \(\mathbb{R}^4\),

d.h. eine Gerade in \(\mathbb{P}^3(\mathbb{R})\).