Aloha :)
Intuitiv ist die Konvergenz der Folge$$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{a}{a_n}}{2}=\frac{a_n^2+a}{2a_n}\quad;\quad a_1>\sqrt{a}$$sofort klar. Es wird stets der Mittelwert von \(a_n\) und \(\frac{a}{a_n}\) als neues Folgenelement gewählt. Dadurch nähern sich die beiden Werte \(a_n\) und \(\frac{a}{a_n}\) immer weiter an, bis im Grenzwert Gleichheit erreicht ist:$$a_\infty=\frac{a}{a_\infty}\implies a_\infty^2=a\implies a_\infty=\sqrt a$$
Rein formal würde ich wie folgt vorgehen...
1) Beschränktheit nach unten:
Mit Hilfe der 2-ten binomsichen Formel erhalten wir:$$(a_n-\sqrt a)^2\ge0\implies a_n^2-2a_n\sqrt a+(\sqrt a)^2\ge0\implies a_n^2+a\ge2a_n\sqrt a$$$$\phantom{(a_n-\sqrt a)^2\ge0}\stackrel{(a_n>0)}{\implies}\frac{a_n^2+a}{2a_n}\ge\sqrt a\implies a_{n+1}\ge\sqrt a$$Da insbesondere \((a_1>\sqrt a)\) vorgegeben ist, gilt:\(\quad \pink{a_n\ge\sqrt a\text{ für alle }n\in\mathbb N}\)
2) Monotonie:$$\pink{a_n\ge\sqrt a}\implies a_n^2\ge a\implies a-a_n^2\le0\stackrel{(a_n>0)}{\implies}\frac{a-a_n^2}{2a_n}\le0\implies\frac{a_n^2+a-2a_n^2}{2a_n}\le0$$$$\phantom{a_n\ge\sqrt a}\implies\frac{a_n^2+a}{2a_n}-\frac{2a_n^2}{2a_n}\le0\implies a_{n+1}-a_n\le0\implies \pink{a_{n+1}\le a_n}$$Die Folge ist also monoton fallend und daher auch durch \(a_1\) nach oben beschränkt.
3) Konvergenz:
Die Folge \((a_n)\) konvergiert, da jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Mit$$a_\infty\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$erhalten wir als Grenzwert:$$a_\infty=\frac{a_\infty^2+a}{2a_\infty}\implies 2a_\infty^2=a_\infty^2+a\implies a_\infty^2=a\stackrel{(a_n>0)}{\implies} \pink{a_\infty=\sqrt a}$$
