Question

[Heron Verfahren/Babylonische Folge zur näherungsweisen Berechnung von  √a] Sei a ∈ N, a > 1 und D = [√a, ∞) und
 F(x) = \( \frac{1}{2} \) (x +\( \frac{a}{x} \)

z.Z 1. Für x ∈ R_>0 ist F(x) ∈ D.
2. Auf D ist F eine Kontraktion.
3.  Einziger Fixpunkt von F auf  R_>0  ist x^* =  √a und für jedes x₀  ∈ R_>0  konvergiert x _k+1 := F(x_k ) gegen x^*
4. Die Folge x_k+1 := F(x_k)  ist das Newton-Verfahren für f(x) = x² − a.

Answer 1

MIt $$ F(x) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right) $$ gilt $$ F'(x) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{a}{x^2} \right)   $$ und $$ F''(x) = \frac{a}{x^3}  $$

Da \( F'(x) \ge 0 \) für \( x \ge \sqrt{a} \), ist \( F(x) \) monoton wachsend. Damit ist \( F(x) \ge F(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}  \left( \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} \right)  \ge \sqrt{a} \) Das ist (1.)

Da auch \( F''(x) \ge 0 \) ist, ist auch \( F'(x) \) monoton wachsend und damit gilt $$ F'(x) \le \frac{1}{2}  $$ Damit ist \( F \) eine Kontraktion und (2.) ist beweisen.

Aus (1) und (2) folgt (3), s. Banachscher Fixpunktsatz.

Zu (4.)

Die Newton Iteration ergibt $$ x_{n+1} = x_n - \frac{ x_n^2 - a }{ 2 x_n } = \frac{1} {2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) $$