Bestimmen Sie, ob es sich um Maximal- /Minimal-Stellen oder Sattelpunkte handelt.

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle kritischen Punkte (also solche, in denen der Gradient von f verschwindet) der Funktion

f (x, y) = e ^{−x^2−y^2} (2x² + y² ) auf ℝ².

Klassifizieren Sie diese, also bestimmen Sie, ob es sich um Maximal- oder Minimal-Stellen oder Sattelpunkte handelt.

Definiert wurde der Sattelpunkt als ein Punkt a, in dessen jeder Umgebung Punkte p und p₀ liegen, so dass
f (p) < f (a) < f (p₀ )).

Answer 1

f(x, y) = EXP(- x^2 - y^2)·(2·x^2 + y^2)

Gradient

f'(x, y) = [- 2·x·e^(- x^2 - y^2)·(2·x^2 + y^2 - 2), - 2·y·e^(- x^2 - y^2)·(2·x^2 + y^2 - 1)] = [0, 0] --> (x = -1 ∧ y = 0) ∨ (x = 1 ∧ y = 0) ∨ (x = 0 ∧ y = -1) ∨ (x = 0 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = 0)

Skizze von Wolframalfa

Answer 2

Extrema bestimmen mit der partiellen Ableitung

Formeln

Existens eines Extremwertes

1) fx=0 und fy=0  und (fxx*fyy-f²xy) >0

2) Maximum fxx<0 und damit auch fyy<0

3) Minimum fxx>0 und damit auch fyy>0

fx → partiell abgeleitet nach x  →y=konstant

fy → partiell abgeleitet nach y → x=konstant

fxx → 2 mal abgeleitet nach x → y=konstant

fyy → 2 mal abgeleitet nach y → x=konstant