Das Heron-Verfahren zur Bestimmung von Wurzeln

Question

Seien x₀ > 0 und a > 0 reelle Zahlen. Die Folge (x_n) _n∈ℕ sei durch x_n+1 := 1/2 (x_n + a/x_n) rekursiv definiert.

Zeigen Sie, dass die Folge (x_n)_n∈ℕ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Tipp: Für die Konvergenz zeigen Sie zunächst Monotonie und Beschränktheit.  Beachten  Sie  dabei,  dass  das  erste  Folgenglied  der  Folge (x_n) die Zahl x₁ und nicht die Zahl x₀ ist. Zur Bestimmung des Grenzwertes zeigen und verwenden Sie 2x_n+1x_n = x_n² + a.

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht voran.. kann mir jemand helfen, bitte? :)

Answer 1

x_n+1 = 1/2 (x_n + a/x_n)    | *2

2x_n+1 = x_n + a/x_n)   | * x_n

gibt die Gleichung aus dem Tipp.

Wenn die Folge einen Grenzwert hat

(dazu sollst du Monotonie und Beschränktheit zeigen.)

haben sowohl x_n als auch x_n+1 den gleichen Grenzwert g,

für den gilt dann  2g^2 = g^2 + a

also g=√a.