Hi,
zu zu (a)
\( \Phi(x) = x \) bedeutet doch \( x = \frac{1}{n} \left[ (n-1)x+\frac{\alpha}{x^{n-1}} \right] \) und diese Gleichung hat die Lösung \( x = \sqrt[n]{\alpha}\)
zu (c)
Die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^n -\alpha \) findet man nach dem Newton Verfahren durch folgende Iterationsvorschrift \( x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - \alpha}{n x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[ (n-1) x_k^n + \frac{\alpha}{x_k^{n-1}} \right] \) also kommt das gleiche wie beim Heron Verfahren heraus.
zu (b)
Da das Newtonverfahren quadratisch konvergiert (https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren) und das Heronverfahren nach (c) ein Spezialfall des Newtonverfahren ist, konvergiert auch das Heronverfahren quadratisch.
