Folge an= (1-(1/n^2))^n hat Grenzwert 1. Beweis?

Question

Die Folge a_n= (1-(1/n²))ⁿ hat den Grenzwert 1.
Ich soll zu gegebenem ε>0 ein n₀ ∈ ℕ bestimmen, dass ∀ n≥n₀ gilt |a_n - 1| < ε.
Ich habe zuerst versucht das nach n aufzulösen. Mit den Potenzgesetzen bin ich da nicht sehr weit gekommen und das n im Exponenten kriege ich auch nicht weg. Da dachte ich, da ich weiß, dass 1/n² gegen 0 läuft, dass ich das einfach =0 setzte, also habe ich rausbekommen:
(1-(1/n^2))ⁿ - 1 < ε     | +1 (1- (1/n^2))ⁿ < ε +1      | (1/n^2) =0 (1-0)ⁿ < ε +1      1ⁿ < ε + 1     | -1 0 < ε
Jetzt bin ich irgendwie wieder am Anfang und keine Ahnung ob mir das was sagen soll.

Falls ich mich vertippt haben sollte, meine Folge sieht so aus:

\( a_{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \)

Comments

Wenn (1 + 1/n)^n → 1/e
Kannst du eventuell damit was machen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%281-%281%2Fn%5E2%29%29%5E%28n%5E2%29++


Dann die n-te Wurzel daraus https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%281-%281%2Fn%5E2%29%29%5E%28n%5E2%29++%29%5E%281%2Fn%29

Answer 1

(1-1/n^2)^n=((1-1/n)*(1/+1/n))^n

=(1-1/n)^n *(1+1/n)^n -> 1/e *e=1

Comments

Hallo Gast jc2144, 

hast Du auch die alten, nicht beantworteten Fragen für Dich entdeckt? ;-)

André