Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.

Question

Forscher der Universität Duisburg/Essen haben das Wachstum einer BierhefeBakterienkultur in einer Petrischale beobachtet. Die Beobachtung erfolgte an zwei aufeinanderfolgenden Tagen. Gestartet wurde an Tag 1 um 8:00 Uhr morgens, beendet wurde die Beobachtung an Tag 2 um 22:00 Uhr abends. Die von den Bakterien bedeckte Fläche (in \( \mathrm{cm}^{2} \) ) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in \( \mathrm{h} \) ) seit dem Beobachtungsbeginn kann im Zeitraum von 8:00 Uhr morgens (Tag 1) bis 22:00 Uhr abends des darauf folgenden Tages (Tag 2) näherungsweise durch die Funktion A mit

\( A(t)=-0,005 t^{3}+0,2 t^{2}+0,9 t+1 \) mit dem Definitionsbereich \( D_{t}=[0 ; 38] \) beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.

b) Berechnen Sie den Wert \( \frac{A(20)-A(10)}{20-10} \) und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.

Comments

Zunächst zur a) Wenn es um 8 Uhr morgen beginnt sollte t=0 um 8 Uhr sein. Ich gehe davon aus, dass t in Stunden gemessen ist, also entspricht 3 Uhr morgens 19h später, also t=19. das musst einfach in die Gleichung einsetzen.

für die b) Musst du die 1. und 2. Ableitung besrechnen und dir Überlegen was im Wendepunkt einer Kurve eigentlich passiert

Answer 1

a ( t ) = - 0.003 * t^3 + 0.02 * t^2 + 0.9 * t + 1

8:00 morgens = 0
22:00 Abends ( nächster Tag ) = 38

a) Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um
3 Uhr morgens.
a ( 19 ) = 4,743 cm^2

b) Berechnen Sie den Wert \( \frac{A(20)-A(10)}{20-10} \)
und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.
2 Punkte auf der Kurve

( x | y )
P1 ( 20 | a ( 20 )
P2 ( 10 | a( 10)
Δ y / Δ x = ( a 20 - a (10 ) ) / ( 20 - 10 )
(ist die Veränderung in einem zeitraum

ich hege Zweifel an der Formel

ab t = 21 wird die Fläche negativ.
Kann nicht sein.

Comments

Vergleiche mal deine aufgeschriebene Funktion mit der Gegebenen.

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Korrektur, anstelle
a ( t ) = - 0.003 * t^3 + 0.02 * t^2 + 0.9 * t + 1
muß es heißen
a ( t ) = - 0.005 * t^3 + 0.02 * t^2 + 0.9 * t + 1

Eine Neuberechnung dürfte nicht notwendig
sein da alles schon geklärt ist.
Sonst wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

A(t) = - 0.005·t^3 + 0.2·t^2 + 0.9·t + 1

a) Bestimme die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.

A(31) = 72.145 cm²

b) Bestimme den Wendepunkt von A und interpretiere ihn im Sachzusammenhang.

Kannst du A(10) = .. und A(20) = ... bestimmen? Wenn ja dann setzt du die berechneten Werte einfach in die gegebene Formel ein.

(A(20) - A(10))/(20 - 10) = 3.4

A'(t) = - 0.015·t^2 + 0.4·t + 0.9

A''(t) = 0.4 - 0.03·t = 0
t = 40/3 = 13.33 Stunden

A(40/3) = 36.70 cm²

A'(40/3) = 3.57 cm²/h

Um 21:20 am Abend haben wir das größte Wachstum der Bakterienkultur. Die Fläche ist dort gerade 36.70 cm² groß. Die Momentane Wachstumsrate beträgt dort 3.57 cm²/h.

Skizze:

~plot~ -0.005*x^3+0.2*x^2+0.9*x+1;[[0|45|0|100]] ~plot~

Answer 3

b) Das Ergebnis ist die ducrchschnittliche Zunahme der Fläche pro Stunde zw. 18 Uhr und 4 Uhr morgens.

Setze 20 bzw. 10 für t ein und berechne die Differenz!