Ist F3[X]/(x^6-x^3-1) ein Körper? Wie beweise ich das (oder das Gegenteil)?

Question

Ja die Frage steht ja schon oben, wenn wir einen (Polynom)Restklassenring in F3 haben mit x^6-x^3-1, leider reicht hier ja ein Test auf Nullstellen nicht mehr aus. Wie muss man da vorgehen und gibt es eine art "Kochrezept" nach dem man dabei grundsätzlich vorgehen kann.

Answer 1

Ein Ring $$K[X]/(f)$$ ist genau dann ein Körper wenn $$f \in K[X]$$ irreduzibel ist. Um die Irreduzibilität eines Polynoms zu zeigen gibt es das Reduktionskrit., das Eisenkrit. und das trivialkriterium für Pol. vom Grad 2 bzw. 3. Ferner nach die Anwendung eines isom. des Pol.rings oder schlichte rohe Gewalt: Zeigen dass das Pol. keine Teiler hat per Hand. Hier hilft der Frobenius: $$x^6-x^3-1=(x^2-x-1)^3 \in \mathbb F_3[X]$$

Comments

Könntest du mir dein Vorgehen noch etwas genauer erläutern? Habe ich das nun richtig verstanden, dass du auf Anhieb sagen kannst, dass dieses Polynom reduzibel ist weil die Exponenten Potenzen einer Primzahl sind?

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Das Polynom ist reduzibel da es eine nicht-triviale Zerlegung gibt. Und diese Zerlegung "sehe ich" (lies: kenne ich aus Erfahrung). Die Exponenten sind hier auch keine Potenzen einer Primzahl.