Wie beweise ich, dass etwas (ein Polynom) irreduzibel ist?

Question

Was genau muss ich zeigen, um zu beweisen, dass ein Polynom irreduzibel ist?

 

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Kommt halt drauf an, was du genau zur Verfügung hast und was du einfach berechnen kannst.

Keine (reellen?) Nullstellen, falls es dir um Reduktion in R geht.
Alle Extremalpunkte und die Grenzwerte im Unendlichen auf der gleichen Seite der x-Achse.

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also vorgegeben ist, es soll ein Polynom vom Grad 2 oder 3 sein, und es gibt keine Nullstelle.

Kannst du vielleicht auch einen Satz zu irreduzibel sagen, ist das wenn ich das Polynom nicht kürzen kann?

Answer 1

Es sei R ein Integritätsring. Dann heißt ein Polynom f aus R[X] irreduzibel, wenn f weder Null noch invertierbar in R[X] ist und für g,h aus. R[X] und f=gh entweder g oder h invertierbar ist. Es ist also zu zeigen, dass für jede Darstellung von f als Produkt zweier Polynome g,h mindestens eine der beiden Polynome invertierbar ist.

Comments

Ok, also angenommen f = ax³+bx²+cx+d

dann ist f = h*g = x * (ax²+bx+c) +d

und da x invertierbar mit 1/x * x = 1  ist demnach f irreduzibel.

 

Ist das richtig so? und ist das ein Beweis?