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Aufgabe:

Gegeben sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor

\( \vec{X}=\left(\begin{array}{l}X_{1} \\ X_{2}\end{array}\right) \sim N\left(\vec{\mu}=\left(\begin{array}{l}\mu_{1}=2 \\ \mu_{2}=3\end{array}\right) ; \sum=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 9\end{array}\right)\right) \).

a) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizient \( \rho_{X Y} \).

b) Angenommen, für den obigen Zufallsvektor gilt \( \sigma_{X_{1} X_{2}}=0 \). Wären dann die Zufallsvariabl \( X_{1} \) und \( X_{2} \) unabhängig? Gilt das für alle Verteilungen?

c) Bestimmen Sie den Mahalanobis-Abstand \( d(\vec{a}, \vec{\mu}) \) für \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \).


Problem/Ansatz:

Ich hänge bei der c) fest, ich weiß man muss die Inverse Matrix machen aber ich weiß nicht wie man das richtig rechnet kann mir bitte jemand das erklären.

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Was ist die Bedeutung von \( \vec{a} \) hier?

Dein Titel der Aufgabe war irreführend, ich habe ihn abgeändert.

tut mir leid habe nicht gesehen bei der Bild zu text formel hatte es nicht mitgenommen a= (1, -1)

Das habe ich gesehen, meine Frage ist nach der Bedeutung von \( \vec{a} \).

Das weiß ich leider nicht da das alles ist was mit gegeben wurde.

Das ist glaub die Formel für Mahalanobis-Distanz \( d(\vec{x}, \vec{y})=\sqrt{(\vec{x}-\vec{y})^{T} \cdot \Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{y})} \)

Du solltest Dich schon mit der Bedeutung der gegebenen Größen vertraut machen, bevor Du überlegst, wie man die Aufgabe lösen kann. Es ist der Wert, für den der Mahalanobis-Abstand von der gegebenen Verteilung ausgerechnet werden soll.

Hint: Das was bei Deiner Formel \( \vec{x} \) lautet ist das \( \vec{a} \) aus der Aufgabe, und das \( \vec{y} \) wird in der Aufgabe \( \vec{\mu} \) genannt.

\(\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 9/5 & -2/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \)

kommt diese 1/5 aus der Formel?

Weil dann bekomme ich 3*(1/wurzel(3)) raus.

Weil dann bekomme ich 3*(1/wurzel(3)) raus.

Verstehe nicht was Du da gerechnet hast, und wieso sagst Du diesem Wert nicht \( \sqrt{3} \) ?

1 Antwort

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Abstand \(\displaystyle d= 3\cdot \sqrt{\frac{1}{5}} \) 

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