Bestimmen Sie den Mahalanobis-Abstand

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor

\( \vec{X}=\left(\begin{array}{l}X_{1} \\ X_{2}\end{array}\right) \sim N\left(\vec{\mu}=\left(\begin{array}{l}\mu_{1}=2 \\ \mu_{2}=3\end{array}\right) ; \sum=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 9\end{array}\right)\right) \).

a) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizient \( \rho_{X Y} \).

b) Angenommen, für den obigen Zufallsvektor gilt \( \sigma_{X_{1} X_{2}}=0 \). Wären dann die Zufallsvariabl \( X_{1} \) und \( X_{2} \) unabhängig? Gilt das für alle Verteilungen?

c) Bestimmen Sie den Mahalanobis-Abstand \( d(\vec{a}, \vec{\mu}) \) für \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich hänge bei der c) fest, ich weiß man muss die Inverse Matrix machen aber ich weiß nicht wie man das richtig rechnet kann mir bitte jemand das erklären.

Comments

Was ist die Bedeutung von \( \vec{a} \) hier?

Dein Titel der Aufgabe war irreführend, ich habe ihn abgeändert.

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tut mir leid habe nicht gesehen bei der Bild zu text formel hatte es nicht mitgenommen a= (1, -1)

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Das habe ich gesehen, meine Frage ist nach der Bedeutung von \( \vec{a} \).

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Das weiß ich leider nicht da das alles ist was mit gegeben wurde.

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Das ist glaub die Formel für Mahalanobis-Distanz \( d(\vec{x}, \vec{y})=\sqrt{(\vec{x}-\vec{y})^{T} \cdot \Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{y})} \)

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Du solltest Dich schon mit der Bedeutung der gegebenen Größen vertraut machen, bevor Du überlegst, wie man die Aufgabe lösen kann. Es ist der Wert, für den der Mahalanobis-Abstand von der gegebenen Verteilung ausgerechnet werden soll.

Hint: Das was bei Deiner Formel \( \vec{x} \) lautet ist das \( \vec{a} \) aus der Aufgabe, und das \( \vec{y} \) wird in der Aufgabe \( \vec{\mu} \) genannt.

\(\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 9/5 & -2/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \)

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kommt diese 1/5 aus der Formel?

Weil dann bekomme ich 3*(1/wurzel(3)) raus.

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Weil dann bekomme ich 3*(1/wurzel(3)) raus.

Verstehe nicht was Du da gerechnet hast, und wieso sagst Du diesem Wert nicht \( \sqrt{3} \) ?

Answer 1

Abstand \(\displaystyle d= 3\cdot \sqrt{\frac{1}{5}} \)