Wie zeige ich, dass eine Basis orthogonal ist, und gebe ihren Endomorphismus an?

Question

Aufgabe:

$$B:=\frac{1}{9}\begin{pmatrix} -1 & 4 & -8 \\ -8 & -4 & -1 \\ 4 & -7 & -4 \end{pmatrix}$$

Man soll zeigen, dass die Basis orthogonal ist und daraufhin den zu B gehörenden (orthogonalen) Endomorphismus des euklidischen Raumes beschreiben.

Problem/Ansatz:

Muss man um zu zeigen, dass die Basis orthogonal ist, nicht einfach die Basis mal das Inverse der Basis berechnen?

Ich weiß dann nur nicht, wie ich den Endomorphismus dazu angeben soll.

Comments

das die Basis orthogonal ist

Welche Basis? Ich sehe keine!

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Entschuldigung, ich hab mich vertan, es ging garnicht um eine Basis, sondern nur um B

Answer 1

Du musst zeigen, dass die Spalten - ich nenne sie mal \(v_1,v_2,v_3\)

ein Orthonormalsystem bilden, d.h.

\(v_i\cdot v_j=0\) für \(i\neq j\) und \(v_i\cdot v_i=1\)

für alle i=1,2,3., wobei "\(\cdot\)" das Standardskalarprodunkt ist.

Vergiss bei deiner Rechnung nicht, dass alle Spalten mit

\(1/9\) multipliziert sind.

Comments

Für eine Orthogonalbasis ist die Bedingung \(v_i\cdot v_i=1\) nicht nötig, dsher spielt sich der Vorfaktor \(\frac19\) keine Rolle.

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Das ist richtig. Aber in der vermeintlichen Originalaufgabe

sollte man wohl zeigen, dass die angegebene Matrix eine

Orthogonalmatrix ist. Leider verunstalten die Fragestellerinnen

und Fragesteller häufig die Originalfrage ;-)

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Das ist jetzt ne Spekulation, die Originalaufgabe kennen wir ja nicht.

MMn sollte man dann aber klar machen, dass man eine andere Frage als die gestellte beantwortet.

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Entschuldigung, ich hab mich vertan, es ging garnicht um eine Basis, sondern nur um B

Wenn man also zeigen soll, dass nicht eine Basis orthogonal,

sondern die Matrix B orthogonal sein soll, dann müssen die Spalten ein

Orthonormalsystem bilden.

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@ermanus sorry, hatte die Korrektur übersehen.

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So ist das, wenn die FragestellerInnen hier
verunstaltete Aufgaben einstellen ;-)

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Ist auch unnötig verführerisch vom Aufgabensteller, die Matrix B zu nennen...

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Ja. Geradezu kriminell ;-)

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Danke für die tollen Antworten, ja leider hat mich das B in der Aufgabenstellung erst meinen lassen, es handle sich um eine Basis. Also nochmals zum richtigen verstehen, ich muss einfach nur ein Orthonormalsystem bilden, und die 1/9 aber mit rein multiplizieren?

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Nein, lies die Antwort oben genau. Du sollst ZEIGEN, dass die Spalten ein ONS bilden. Alternativ (kommt auf's gleiche raus), laut Def. ist eine Matrix \(B\) orthogonal (hast Du das nachgeschlagen?), wenn \(B\cdot B^T=I\).

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Danke, das habe ich nun verstanden. Wie gebe ich nun den zugehörigen Endomorphismus an?

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Das ist doch einfach nur \(f:\; x\mapsto B\cdot x\) wenn \(x\)

ein Koordinatenvektor bzgl. der Standardbasis ist.