Orthogonalität. a,b bez. orthonormierter Basis: a=2v2 - v3, b=v1+v2+v3. Sind a und b orthogonal zueinander?

Question

Sei (v₁, v₂, v₃) eine orthonormierte Basis des V³₀. Zwei Vektoren a und b sind als Linearkombination bezüglich dieser Basis dargestellt: a=2v₂ - v₃ ,    b=v₁+v₂+v₃

1. Sind a und b orthogonal zueinander? 

2. Begründen Sie weshalb gilt: (v₁, v₃) = v₂ oder (v₁,v₃) = -v₂

Answer 1

1)

Im Allgemeinen sind a und b nicht orthogonal zueinander.

Beweis durch Gegenbeispiel:

Die Standardbasis

$${ B }=({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 })=\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$$

des R³ ist eine orthonormierte Basis. Bezüglich dieser Basis ist

$$a=2{ v }_{ 2 }-{ v }_{ 3 }=2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

und

$$b={ v }_{ 1 }+{ v }_{ 2 }+{ v }_{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Wären a und b orthogonal zueinander, dann müsste das Skalarprodukt a * b den Wert Null annehmen. Das Skalarprodukt a * b jedoch ist

$$a*b=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=0*1+2*1+(-1)*1=1\neq 0$$

a und b sind also nicht orthogonal zueinander.

 

2) Ich nehme an, dass mit  (v₁, v₃) das Vektorprodukt von v₁und v₃ gemeint ist.

Das Vektorprodukt zweier Vektoren x und y ist ein Vektor, der senkrecht auf der von x und y aufgespannten Ebene steht und dessen Betrag (Länge) den Flächeninhalt des von x und y aufgespannten Parallelogramms angibt.

Wenn nun, wie vorliegend, x = v₁ und y = v₃ senkrecht zueinander stehen, dann ist das von ihnen aufgespannte Parallelogramm ein Rechteck. Wenn zudem die beiden Vektoren den Betrag 1 haben (was für v₁ und v₃ ebenfalls der Fall ist), dann hat dieses Rechteck den Flächeninhalt 1. Daher muss das Vektorprodukt von v₁ und v₃ senkrecht auf v₁ und v₃ stehen, also ein Vielfaches des Vektors v₂ sein, der ja mit v₁ und v₃eine orthonormierte Basis bildet und zudem den Betrag 1 haben. Die einzigen beiden Vektoren aber, die das leisten, sind v₂ und - v₂

Answer 2

Sei (v₁, v₂, v₃) eine orthonormierte Basis des V³₀. Zwei Vektoren a und b sind als Linearkombination bezüglich dieser Basis dargestellt: a=2v₂ - v₃ ,    b=v₁+v₂+v₃

1. Sind a und b orthogonal zueinander? 

Es müsste gelten

0= a*b

Also 0= (2v₂ - v₃ )(v₁+v₂+v₃)

= 2v2v1 + 2v2v2 + 2v2v3 - v3v1-v3v2-v3v3      |da orthonormierte Basis

= 2*0 + 2*1 + 2*0 -0-0-1 = 1≠0 Daher sind a und b nicht orthogonal zueinander.

2. Begründen Sie weshalb gilt: (v₁, v₃) = v₂ oder (v₁,v₃) = -v₂

Der resultierende Vektor des Vektorprodukts (v1,v3) bildet mit  v1,v3 ein orthogonales Rechtsystem, steht senkrecht auf beiden Vektoren und seine Länge entspricht dem aufgespannten Parallelogramm (hier konkret: Einheitsquadrat mit Fläche 1) Also genau, was von v2 verlangt ist (bis auf die Orientierung) daher ist ±v2 möglich.