Lineare Algebra. Liegt der Punkt P mit OP = p = 1/8a+1/4b+1/8c in der Ebene EABC, die die Punkte A,B und C enthält?

Question

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren a=OA , b=OB, c=OC des Vektorraums Vⁿ₀ ( n∈ℕ, n>2). Liegt der Punkt P mit OP = p = 1/8a+1/4b+1/8c in der Ebene E_ABC, die die Punkte A,B und C enthält. Hinweis: Stellen Sie dazu zunächst eine Parameterdarstellung der Ebene auf. 

Answer 1

Die Ebenengleichng lautet:

$$E:\vec { r } =a+\lambda (b-a)+\mu (c-a)$$

Läge p in diese Ebene, dann müsste sich p durch diese Gleichung darstellen lassen, es müsste also ein λ und ein μ geben, sodass gilt:

$$\vec { p } =\frac { 1 }{ 8 } a+\frac { 1 }{ 4 } b+\frac { 1 }{ 8 } c$$$$=a+\lambda (b-a)+\mu (c-a)$$$$=a+\lambda b-\lambda a+\mu c-\mu a$$$$=(1-\lambda -\mu )a+\lambda b+\mu c$$

Koeffizientenvergleich führt auf das Gleichungssystem:

$$(1-\lambda -\mu )=\frac { 1 }{ 8 }$$$$\lambda =\frac { 1 }{ 4 }$$$$\mu =\frac { 1 }{ 8 }$$

welches keine Lösung besitzt, da

$$(1-\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } )=\frac { 5 }{ 8 } \neq \frac { 1 }{ 8 }$$

Also liegt p nicht in der Ebene, die die Punkte A, B und C enthält.