Ebene und Geraden Lagebeziehungen. Gerade im Raum R^3 , die den Ursprung und den Punkt (1, 0,−3) enthält.

Question

Es sei g die Gerade im Raum R 3 , die den Ursprung und den Punkt (1, 0,−3) enthält. Es sei E die Ebene, die orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.

(a) Geben Sie die Parameterdarstellung von g und die Parameterdarstellung und die HesseNormalform von E an.

Answer 1

Die HesseNormalform von E ist  (x₁;x₂;x₃)·(1;0;-3)=0 (Vektoren bitte in Spaltenform umschreiben).

Die Parameterdarstellung von E erhält man, wenn zwei Punkte auf E sucht: z.B. (3;1;1) und (6;0;2). Dann ist die Parameterdarstellung von E:

(x₁;x₂;x₃) = r· (3;1;1) + s·(6;0;2) (Vektoren bitte in Spaltenform umschreiben).

Und die Parameterdarstellung von g ist (x₁;x₂;x₃)=t·(1;0;-3)  (Vektoren bitte in Spaltenform umschreiben).

Comments

 
danke für die schnelle Antwort. 
Gerade g ist mir klar geworden, da g:x = p+r*u --> (u=p-q oder q-p)das wäre ja: (0,0,0)+r*(1,0,3)
mir ist aber noch nicht klar geworden, wie genau man auf die Parameterdarstellung von der Ebene e kommt Sie soll ja orthogonal zu g sein und zudem noch durch den Ursprung gehen 
Könnten Sie ihre Überlegung etwas erläutern.

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Eine Ebene ist durch 3 Punkte vollständig festgelegt. Einer dieser drei Punkte ist (0;0;0). Dann muss ich noch zwei finden, indem ich die Hessesche Normalenform benutze. Setze ich etwa für x₁=3 und x₂=1, erhalte ich x₃=1. Also ist (3;1;1) Punkt der Ebene, und da auch (0;0;0) Punkt der Ebene ist, ist (3;1;1) Richtungsvektor. Jetzt suche ich mit einen zweiten Punkt und habe sofort einen zweiten Richtungsvektor. Die Parameterform der Ebenengleichung enthält einen Stützvektor (z.B. (0;0;0)) und zwei richtungsvektoren (einen hab ich vorgerechnet).

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Alles klar. Vielen lieben Dank :)

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Die Richtungsvektoren von E stehen senkrecht auf dem Normalenvektor. Deshalb kann man sie auch einfach aus dem Normalenvektor herleiten:

 \(\vec{n}\) =  \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)   ⊥  \(\begin{pmatrix} 0 \\ c \\ -b \end{pmatrix}\) ,   \(\begin{pmatrix} c \\ 0 \\ -a \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} b \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}\) 

Man setzt bei  \(\vec{n}\) eine Koordinate 0, vertauscht die beiden anderen und ändert bei einer von beiden das Vorzeichen. Dann ist das Skalarprodukt mit  \(\vec{n}\) gleich 0 und man hat einen Richtungsvektor. (Wenn  \(\vec{n}\) zwei Koordinaten = 0 hat, darf man allerdings die 3. nicht auch noch gleich 0 setzen, sondern man nimmt eine der gegebenen Nullen)