Aloha :)
Die Bogenlänge \(\ell\) der Kurve$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}-t\sin(2t)\\t\cos(2t)\\\frac43t^{3/2}\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;4\pi]$$erhältst du wie folgt:$$\ell=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(4\pi)}dr=\int\limits_{t=0}^{4\pi}\left\|\frac{d\vec r(r)}{dt}\right\|\,dt$$
Ein Vektor wird abgelitten, indem jede Komponente einzeln abgelitten wird:$$\frac{d\vec r(r)}{dt}=\begin{pmatrix}-(1\cdot\sin(2t)+t\cos(2t)\cdot2)\\1\cdot\cos(2t)+t\cdot(-\sin(2t)\cdot2)\\\frac43\cdot\frac32\,t^{1/2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin(2t)-2t\cos(2t)\\\cos(2t)-2t\sin(2t)\\2\sqrt t\end{pmatrix}$$Davon brauchen wir den Betrag. Wir rechnen das Quadrat des Betrages aus, um uns die lästige Wurzel zu ersparen:$$\left\|\frac{d\vec r(r)}{dt}\right\|^2=(-\sin(2t)-2t\cos(2t))^2+(\cos(2t)-2t\sin(2t))^2+(2\sqrt t)^2$$$$\qquad\qquad\;={\color{blue}\sin^2(2t)}\green{+4t\sin(2t)\cos(2t)}+\pink{4t^2\cos^2(2t)}$$$$\qquad\qquad\;{\color{blue}+\cos^2(2t)}\green{-4t\sin(2t)\cos(2t)}+\pink{4t^2\sin^2(2t)}+4t$$$$\qquad\qquad\;={\color{blue}1}+\green0+\pink{4t^2}+4t=(2t+1)^2$$
Damit können wir das Integral für die Länge \(\ell\) einfach formulieren:$$\ell=\int\limits_{t=0}^{4\pi}(2t+1)dt=\left[t^2+t\right]_{t=0}^{4\pi}=16\pi^2+4\pi$$