Definition einer Kurvenlänge und deren Berechnung

Question

Aufgabe:

a) Wie definiert man die Kurvenlänge einer differenzierbaren Kurve f: [a,b] → R^3?

b) Berechnen Sie die Kurvenlänge von f: [0, 4pi] → R^3 für

$$ \vec{f(t)}= \left(\begin{array}{c} -t sin(2t)\\ t cos(2t) \\  4/3 t ^{3/2} \end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

a) $$\int_a^b |f'(t)| dt$$

b) muss ich jetzt die Komponentenweise Ableitung bilden?

Answer 1

Aloha :)

Die Bogenlänge \(\ell\) der Kurve$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}-t\sin(2t)\\t\cos(2t)\\\frac43t^{3/2}\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;4\pi]$$erhältst du wie folgt:$$\ell=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(4\pi)}dr=\int\limits_{t=0}^{4\pi}\left\|\frac{d\vec r(r)}{dt}\right\|\,dt$$

Ein Vektor wird abgelitten, indem jede Komponente einzeln abgelitten wird:$$\frac{d\vec r(r)}{dt}=\begin{pmatrix}-(1\cdot\sin(2t)+t\cos(2t)\cdot2)\\1\cdot\cos(2t)+t\cdot(-\sin(2t)\cdot2)\\\frac43\cdot\frac32\,t^{1/2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin(2t)-2t\cos(2t)\\\cos(2t)-2t\sin(2t)\\2\sqrt t\end{pmatrix}$$Davon brauchen wir den Betrag. Wir rechnen das Quadrat des Betrages aus, um uns die lästige Wurzel zu ersparen:$$\left\|\frac{d\vec r(r)}{dt}\right\|^2=(-\sin(2t)-2t\cos(2t))^2+(\cos(2t)-2t\sin(2t))^2+(2\sqrt t)^2$$$$\qquad\qquad\;={\color{blue}\sin^2(2t)}\green{+4t\sin(2t)\cos(2t)}+\pink{4t^2\cos^2(2t)}$$$$\qquad\qquad\;{\color{blue}+\cos^2(2t)}\green{-4t\sin(2t)\cos(2t)}+\pink{4t^2\sin^2(2t)}+4t$$$$\qquad\qquad\;={\color{blue}1}+\green0+\pink{4t^2}+4t=(2t+1)^2$$

Damit können wir das Integral für die Länge \(\ell\) einfach formulieren:$$\ell=\int\limits_{t=0}^{4\pi}(2t+1)dt=\left[t^2+t\right]_{t=0}^{4\pi}=16\pi^2+4\pi$$

Answer 2

Ja. Beim Ausrechnen denke an den trigonometrischen Pythagoras.

Comments

$$\vec{f'(t)}= \left(\begin{array}{c} -sin(2t)-2tcos(2t) \\ cos(2t)-2tsin(2t)\\ 2t^{1/2} \end{array}\right)$$

Wo soll ich hier den Pythagoras anwenden

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Du musst natürlich weiterrechnen. Als nächstes die euklidische Norm.

Answer 3

Zur Definition einer Kurvenlänge legt man n-2 Punkte zwischen Anfangspunkt und Endpunkt des zu messenden Kurvenstücks, bildet die Summe S_n der n Teilstrecken des Polygonzuges von Punkt zu Punkt und sucht den \( \lim\limits_{n\to\infty} \)S_n.

Comments

n -> oo ist nur eine Folgerung aus der eigentlichen Bedingung.

Answer 4

Hallo,

\( L=\int \limits_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}} \mathrm{dt} \)

Ich habe folgendes Ergebnis erhalten:

\( \int \limits_{0}^{4 \pi} \sqrt{4 t^{2}+1+4 t} d t=4 \pi(1+4 \pi) \approx 170.48 \)