Unterschied bei der Notation von Integralen mit einem Multiplikationszeichen vor dem dx

Question

Hallo zusammen,
ich versuche die Notation bei Integralen estwas besser zu verstehen und sehe mich immer wieder mit Folgendem konfrontiert:

Ich sehe bei Intergralen häufiger die Notation $$\int{f(x) \cdot dx}$$ bzw $$\int{F \cdot ds}$$ Wenn ich jedoch nach der Notation von Integralen suche, finde ich dass diese kein Multiplikationszeichen vor dem dx bzw ds haben. Sind die beiden Notationen identisch oder gibt es hier einen Unterschied?

Answer 1

Hallo

wie bei ab statt 3*b=3b  kann man das Malzeichen  benutzen oder nicht, das dx kommt ja von der Summe f(xi)*Δxi für Δxi->0

und auch hier kann man das Malzeichen schreiben oder weglassen f(xi)Δxi

Gruß lul

Comments

Alles klar, danke. Ich dachte immer das dx wäre einfach nur die "rechte Eingrenzung" des Integrals, welches mir mitteilt, nach welcher Variable integriert werden soll. Daher hatte mich das Malzeichen verwirrt.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das ist tatsählich ein Multiplikationszeichen.

Wir machen mal ein Beispiel für eine Substitution. Betrachte das Integral:$$I=\int2x\cos(x^2)\cdot dx$$Das übliche Vorgehen wäre nun zu substituieren:$$u\coloneqq x^2\implies\frac{du}{dx}=2x\implies dx=\frac{du}{2x}$$und das Integral wie folgt umzuschreiben und dabei zu kürzen:$$I=\int\cancel{2x}\cos(u)\cdot\frac{du}{\cancel{2x}}=\int\cos(u)\cdot du=\sin(u)+\text{const}=\sin(x^2)+\text{const}$$

Wegen \(\frac{d(x^2)}{dx}=2x\) gilt \(d(x^2)=2x\cdot dx\) und du kannst viel kürzer schreiben:$$I=\int\cos(x^2)\cdot2x\cdot dx=\int\cos(x^2)\cdot d(x^2)=\sin(x^2)+\text{const}$$

Comments

tatsählich ein Multiplikationszeichen und vielleicht sogar eins für die Skalarmultiplikation