Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit

Question

Aufgabe (Beweisaufgabe: Aus differenzierbar folgt stetig)

Seien \( a, x_{0}, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<x_{0}<b \) und \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar in \( x_{0} \).
Beweisen Sie: \( f \) ist in \( x_{0} \) stetig.

Problem/Ansatz:

Hallo, habe keine Ahnung wie ich die Stetigkeit von x0 nachweisen kann.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Update meine Idee/Ansatz:

Da f differenzierbar ist existiert die Ableitung in x0, also:

lim x->x0  f(x) - f(x0) / x - x0 = f'(x)
= lim x->x0  f(x) = f'(x) * (x - x0) + f(x0)    | da x -> x0 geht wird (x - x0) zu 0
f(x0) = f(x0)

Könnte man die Stetigkeit somit zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen, dass die Funktion \(\;f\colon(a;b)\to\mathbb R\;\) im Punkt \(x_0\in(a;b)\) differenzierbar ist und sollen daraus die Stetigkeit im Punkt \(x_0\) folgern.

$$\underbrace{f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}_{\text{\(f\) ist differenzierbar in \(x_0\).}}\quad\implies\quad\underbrace{\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)}_{\text{\(f\) ist stetig in \(x_0\).}}$$

Dazu können wir wie folgt vorgehen:$$\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)\cdot h}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)\cdot h\overbrace{\pink{-f(x_0)}\cdot h\pink{+f(x_0)}\cdot h}^{=0}}{h}$$$$\phantom{\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(x_0+h)\cdot h-f(x_0)\cdot h}{h}+\frac{f(x_0)\cdot h}{h}\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)}=\lim\limits_{h\to0}\left(h\cdot\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+f(x_0)\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)}=\lim\limits_{h\to0}\left(h\right)\cdot\left(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)+f(x_0)$$$$\phantom{\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)}=0\cdot f'(x_0)+f(x_0)=f(x_0)\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo

1. schreib die Stetigkeit mit ε und δ auf, dann den  Differenzenquotienten  und du kennst den GW, für |f(x-x0)-f(x0/|<ε schließe mit f' auf ein δ.

Der Satz ist eigenartig, denn eigentlich ist Stetigkeit notwendig für differenzierbar. Also kannst du auch einen Widerspruchsbeweis machen.

Gruß lul

Answer 3

Du hattest eine sehr gute Idee, mit der alles viel kürzer geht.

Es exisitiert

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)\)

und es existiert

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}(x-x_0)=0\)

Daher existiert auch der Grenzwert

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\cdot (x-x_0)\right) \)

\(\displaystyle =  \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\cdot \lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f'(x_0) \cdot 0 = 0\)

Fertig.