Text erkannt:
(a) Zeigen Sie, dass mit
\( H_{n}(x):=(-1)^{n} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)}, \quad n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \)
eine Lösung der DGL
\( y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0 \)
gegeben ist.
(b) Zeigen Sie, dass
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{cc} 0, & \text { falls } n \neq m \\ 2^{n} n ! \sqrt{\pi}, & \text { falls } n=m \end{array} .\right. \)
Problem:
Hallo, kann mir vielleicht jemand hierbei helfen? Ich habe leider überhaupt keine Idee. Zuerst hätte ich die Ableitungen von Hn(x) berechnet und sie dann eingesetzt in die Differentialgleichung, aber ich habe das Gefühl, dass das nicht passt.
Lg
