Zeigen Sie, dass mit Hn(x) eine Lösung der DGL gegeben ist

Question

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie, dass mit
\( H_{n}(x):=(-1)^{n} e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)}, \quad n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \)
eine Lösung der DGL
\( y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0 \)
gegeben ist.
(b) Zeigen Sie, dass
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{cc} 0, & \text { falls } n \neq m \\ 2^{n} n ! \sqrt{\pi}, & \text { falls } n=m \end{array} .\right. \)

Problem:

Hallo, kann mir vielleicht jemand hierbei helfen? Ich habe leider überhaupt keine Idee. Zuerst hätte ich die Ableitungen von H_n(x) berechnet und sie dann eingesetzt in die Differentialgleichung, aber ich habe das Gefühl, dass das nicht passt.

Lg

Comments

Hallo

bedeuted (e^{-x^2})⁽ⁿ⁾ die nte Ableitung oder einfach hoch n?

und warum kannst du nicht die Ableitung einfach einsetzen?

Gruß lul

---

Google mal "Hermite Polynome".
Das Internet ist voll von Lösungen zu deiner Aufgabe.

---

Ja soll die n-te Ableitung sein. Habe überlegt das mit Induktion zu machen, da das mit einsetzen nicht hinhaut.

---

Ich habe jetzt mal geguckt auf google und tatsächlich für a) keine Lösung gefunden und für b) eine sehr ausführliche wobei auf andere Beweise verwiesen wird. Daher bin ich mir immer noch unsicher.

---

Schau mal hier:

https://books.google.de/books?id=buGom9XkJfQC&pg=PA121&lpg=PA121&dq=y%27%27-2xy%27%2B2ny%3D0&source=bl&ots=nmHp0LUJLD&sig=ACfU3U0BoJ4QEzpNSGTy98JPt64wn6K8rA&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwiFh8zMxIuAAxWZUKQEHYJ3AisQ6AF6BAgeEAM#v=onepage&q=y''-2xy'%2B2ny%3D0&f=false

Answer 1

Hallo,

 \( H_{n} \) löst die Hermitesche DGL \(y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0\)

\( D=\frac{d}{d x} \)

Es genügt der Nachweis für die Funktion \( y=e^{x^{2}} D^{n} e^{-x^{2}} \)

 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.