Berechnung des Scheitelpunkts von Kt in Abhängigkeit von t

Question

Gegeben ist die Parabelschar ft(x)=x^2-3tx + (1/4)t^2 +1. Das Schaubild sei Kt. a) Berechnen Sie den Scheitelpunkt von Kt in Abhängigkeit von t. b) Bestimmen Sie die Ortskurve aller Scheitel St((3/2)t|-2t^2 +1) von Kt.

Answer 1

ft(x) = x^2 - 3·t·x + 1/4·t^2 + 1

Scheitelpunkte

ft'(x) = 2·x - 3·t = 0

2·x - 3·t = 0
x = 1.5·t

ft(1.5·t) = (1.5·t)^2 - 3·t·(1.5·t) + 1/4·t^2 + 1 = 1 - 2·t^2

Ortskurve der Scheitelpunkte

2·x - 3·t = 0
t = 2/3·x

f_SP(x) = x^2 - 3·(2/3·x)·x + 1/4·(2/3·x)^2 + 1 = 1 - 8/9·x^2

Comments

Entspricht die x-Koordinate der ersten Ableitung gleich der x-Koordinate des Scheitelpunktes?

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Die Bedingung des Scheitelpunktes ist eine Steigung von Null in dem Punkt. Also kann ich die erste Ableitung gleich null setzen. Nun will ich aber das x wissen bei dem das gilt. Also das ganze nach x auflösen.

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Gut zu wissen.

Ich rechne trotzdem lieber mit der Formel, wenn es nicht gerade sehr schwierige Koeffizienten sind :)

Answer 2

a) Umformen in die Scheitelpunktform:

$${ { f }_{ t }(x)= }{ x }^{ 2 }-3tx+\frac { 1 }{ 4 } { t }^{ 2 }+1$$Addieren und Subtrahieren der quadratischen Ergänzung:$$={ x }^{ 2 }-3tx+{ \left( \frac { 3 }{ 2 } t \right)  }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } t \right)  }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } { t }^{ 2 }+1$$Die ersten drei Summanden mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:$$={ \left( { x }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } t \right)  } \right)  }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 4 } { t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } { t }^{ 2 }+1$$Die letzten drei Summanden zusammenfassen:$$={ \left( { x }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } t \right)  } \right)  }^{ 2 }-2{ t }^{ 2 }+1$$Scheitelpunktform formal korrekt darstellen:$$={ \left( { x }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } t \right)  } \right)  }^{ 2 }+(-2{ t }^{ 2 }+1)$$Scheitelpunkt ablesen:$$\Rightarrow { S }_{ t }(\frac { 3 }{ 2 } t,-2{ t }^{ 2 }+1)$$

b)

X-Koordinate der Scheitelpunkte:$$x=\frac { 3 }{ 2 } t$$Auflösen nach t:$$\Leftrightarrow t=\frac { 2 }{ 3 } x$$und einsetzen in die y-Koordinate des Scheitelpunktes:$$y=-2{ t }^{ 2 }+1$$$$=-2{ \left( \frac { 2 }{ 3 } x \right)  }^{ 2 }+1$$$$=-\frac { 8 }{ 9 } { x }^{ 2 }+1$$

Hier ein Schaubild mit drei Kurven der Parabelschar und der Ortskurve der Scheitelpunkte (in Grün):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2-3*%281%29x%2B.25*%281%29%C2%B2%2B1%2Cx%C2%B2-3*%282%29x%2B.25*%282%29%C2%B2%2B1%2Cx%C2%B2-3*%283%29x%2B.25*%283%29%C2%B2%2B1%2C-%288%2F9%29x%C2%B2%2B1+from-2to10