Kann dieser Term ganzzahlig werden?

Question

Aufgabe:

Kann dieser Term ganzzahlig werden?

\( \dfrac{x^{3}}{z^{2}+yz+y^{2}} \)

 \( x,y,z \in \mathbb{N} \)   und   \( 0<x <y<z \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst mit Python verschiedene Beispiele auch für große Werte von x gerechnet

mit y=x+1 , z=x+2 , z=x+3 ... etc. und komme dabei nie auf ganze Zahlen als Ergebnis.

Wie könnte man diesen Term geeignet umstellen für eine Grenzwertberechnung oder ähnliches?

Mir fehlt dafür irgendwie eine zündende Idee.

Answer 1

Du kannst ganzzahlige Lösungen recht einfach konstruieren.
Ein Beispiel ist

$$x=19,\; y=38,\; z=57$$

Setze $$y=sx,\; z=tx\text{ mit } 1<s<t$$ Dann gilt

$$\frac{x^3}{y^2+yz+z^2}= \frac{x}{s^2+st+t^2}$$

Dieser Ausdruck ist auf jeden Fall ganzzahlig, wenn \((s^2+st+t^2) | x\).

So erhältst du für \(s=2,t=3\) zum Beispiel meine obige Lösung, indem du setzt

$$x= s^2+st+t^2 = 19$$

Was du jetzt noch mit Grenzwerten willst, ist mir unklar.

Comments

Danke!

Das mit den Grenzwerten war wohl falsch formuliert.

Es ging eher um eine Formel, die dann einen ganzzahligen Wert liefern könnte.

---

P.S. Wäre so eine ähnliche Aussage auch für y=(x+s) und z=(x+t) möglich?

Ich komme dann nach Ausmultiplizieren auf diesen Term

\( \dfrac{x^{3}}{3x^{2}+3(s+t)x+(s^{2}+st+t^{2})} \)

und da müsste auch irgendwie wieder ein gemeinsamer Teiler von x gefunden werden.

Dein obiges Beispiel funktioniert natürlich immer.

---

Wie du selbst sicher siehst, ist der Nenner in deinem Falle eher unhandlicher geworden.

Du könntest nun verlangen, dass s und t durch x teilbar sind. So könntest du wieder \(x^2\) ausklammern und würdest ebenfalls einen Bruch mit nur x im Zähler und einem Ausdruck mit s und t im Nenner erhalten.