Ganzzahlig: Beweisen, dass die Gleichung x^2 - 8y^2 = 6 keine ganzzahligen Lösungen x,y € Z besitzt

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Gleichung x^2 - 8y^2 = 6 keine ganzzahligen Lösungen x,y € Z besitzt.

Problem/Ansatz:

Hier muss ich per Widerspruchsbeweis zeigen, dass y oder x eine Minuszahl sein müssen, damit es eine Lösung gibt, und es dann aber ein Widerspruch zur Annahme wäre, oder? Wie genau rechne ich das?

Comments

"Minuszahlen" wären durchaus auch ganzzahlig.

Hier geht es eher um die Paritäten von x und y (also darum, ob x bzw. y gerade oder ungerade Zahlen sind).

Answer 1

x^2-8y^2=6

x^2=6+8y^2

x^2=2*(3+4y^2)

x^2=2*u

u=3+4y^2=2*(1+2y^2)+1

u ist ungerade, müsste aber gerade sein, da

x^2 alle Primfaktoren von x zweimal enthalten muss.

Also gibt es keine ganzzahligen Lösungen.

:-)

Answer 2

Angenommen, es gibt eine Lösung.

Dann gilt x^2 = 6+8y^2   also ist x^2 (als Summe zweier gerader Zahlen) gerade.

Also auch x gerade und damit  ist x^2 auch durch 4 teilbar.

Dann wäre x^2 -8y^2 als Differenz zweier durch 4 teilbarer

Zahlen auch durch 4 teilbar. 6 ist aber nicht durch 4 teilbar.

Widerspruch !

Comments

Wieso ist denn x^2 gerade? Wenn ich für x = 3 wähle, dann habe ich doch 3 * 3 = 9 als Summe und somit eine ungerade Zahl. Oder muss ich eine gerade Zahl wählen, weil auf der rechten Seite der Gleichung auch gerade Zahlen sind?

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x^2 = 6 + 8·y^2

x^2 ist gerade, weil 6 + 8·y^2 als Summe zweier gerader Zahlen grade ist.

Answer 3

" zeigen, dass y oder x eine Minuszahl sein müssen,"

Sowohl x² als auch y² sind in keinem Falle negativ. Da hilft es nichts, zu wissen, dass x oder y negativ ist