Exponentialfunktion,Wachstumskonstante , Zuwachs

Question

Aufgabe:

Im Jahr 1980 schätzte man, dass die Nachfrage nach Erdöl in den nächsten 25 Jahren mit einer jährlichen Zuwachsrate von höchstens 2,4% steigt.

a) Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Wachstumskonstante k.

b) Bestimmen Sie die Verdopplungszeit Tv für die Nachfrage.

c) Zeigen Sie, dass bei einer jährlichen Zuwachsrate von p% allgemein der Zusammenhang k=( 1+ p/ 100) gilt

Problem/Ansatz:

Wie geht das?

Answer 1

Im Jahr 1980 schätzte man, dass die Nachfrage nach Erdöl in den nächsten 25 Jahren mit einer jährlichen Zuwachsrate von höchstens 2,4% steigt.

a) Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Wachstumskonstante k.

Wachstumskonstante: k = ln(1 + 0.024) = 0.02372

Wachstumsfaktor: k = 1 + 0.024 = 1.024

b) Bestimmen Sie die Verdopplungszeit Tv für die Nachfrage.

(1 + 0.024)^Tv = 2 --> Tv = 29.23 Jahre

c) Zeigen Sie, dass bei einer jährlichen Zuwachsrate von p% allgemein der Zusammenhang k=( 1+ p/ 100) gilt

Den Zusammenhang kenne ich als Wachstumsfaktor und nicht als Wachstumskonstante.

Bei einem Anfangsbestand y0 gilt für den Bestand in den folgenden Jahren

y1 = 1 * y0 + p/100 * y0 = y0 * (1 + p/100)
y2 = 1 * y1 + p/100 * y1 = y1 * (1 + p/100) = y0 * (1 + p/100) * (1 + p/100) = y0 * (1 + p/100)^2
...

k = (1 + p/100) wird dann als Wachstumsfaktor bezeichnet.

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Vielen Dank!

Answer 2

Jährliches Wachstum von 2,8% bedeutet:

Nach einem Jahr sind es 102,8% des Vorjahreswertes,

also 1,028 mal soviel, also k=1,028.

Verdopplung nach t Jahren, wenn 1,028^t = 2

also t*ln(1,028)=ln(2)

==>  t= 25,1

Also nach etwa 25,1 Jahren verdoppelt.

c) wie a) nur allgemein mit p.

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Vielen lieben Dank!

Answer 3

a) Der jährliche Wachstumsfaktor ist 1,024.

b) Verdopplung nach t Jahren: 2=1,024^t

t≈29,226 Jahre = 29 Jahre 2 Monate und 21 Tage.

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Vielen Lieben Dank!