Finden von allen ganzzahligen Lösungen

Question

Aufgabe

Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen \( x, y \in \mathbb{Z} \) won den folgenden Gleichungen
(a) \( x y=x+y+1 \),
(b) \( \frac{1}{x}+\frac{y}{3}=\frac{5}{9} \).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand erklären wie man ungefähr bei solchen Aufgaben beginnt?

Answer 1

Hallo,

a)

xy=x+y+1

xy-x=y+1

x(y-1)=y+1

x=(y+1)/(y-1)

y+1 = (y-1) +2

Sei y-1 =z

x=(z+2)/z=1 + 2/z

Für z=1 ist x=3 und y=2.

Für z=2 ist x=2 und y=3.

Für z=-1 ist x=-1 und y=0.

Für z=-2 ist x=0 und y=-1.

Das sind alle Lösungen.

b)

1/x + y/3 = 5/9   |•9x

9 +3xy = 5x

9 = x •(5-3y)

9=1•9=3•3=(-1)•(-9)=(-3)•(-3)

Nun musst du gucken, welche der vier Produkte möglich sind.

5-3•2=-1 → y=2; x=-9

Mehr Lösungen sehe ich nicht.

:-)

PS:

Die Proben darfst du selbst machen.

Comments

Der Schritt wo du y+1 = y-1+2 ab da versteh ich den Weg nicht mehr, könntest du die Schritte etwas erläutern?

---

Der Zähler y+1 ist um 2 größer als der Nenner y-1.

Da x auf der linken Seite steht und eine ganze Zahl ist, suche ich alle Brüche der Form (z+2)/z die ganze Zahlen ergeben.

(z+2)/z ist äquivalent zu 1 + 2/z.

Also kann z nur ±1 oder ±2 sein.

Die vier Fälle habe ich dann untersucht.

Ist es nun klarer?

Answer 2

b) 1/x+y/3= 5/9 |*9x

9+3xy = 5x

3xy-5x= -9

x(3y-5) = -9

x= -9/(3y-5)

3y-5 muss Teiler von -9 sein

Die Teiler sind: +-1, +-3, +-9

....

Comments

Ja, das ist richtig gut.

Die Schlussfolgering

3y-5 muss Teiler von -9 sein

kann man sogar schon eine Zeile vorher:

x(3y-5) = -9

gewinnen und dort ergänzen, dass auch x ein Teiler von -9 sein muss.

Das führt auf die Möglichkeiten

x=1 und 3y-5=-9 (für y nicht erfüllbar)

x=-1 und 3y-5=9 (für y nicht erfüllbar)

x=3 und 3y-5=-3 (für y nicht erfüllbar)
x=-3 und 3y-5=3 (für y nicht erfüllbar)

x=9 und 3y-5=-1 (für y nicht erfüllbar)
x=-9 und 3y-5=1 gilt für y=2.