Ist eine Quadratwurzel von 12pq^3-3p^4 ganzzahlig?

Question

Aufgabe:

Kann man allgermein (also ohne Probieren) herausfinden, ob der Ausdruck

\( \sqrt{12\cdot{p}\cdot{q^{3}}-3\cdot{p^{4}}}\phantom{10}p,q\in \mathbb{N} \)

ganzzahlige Lösungen hat?

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Lösungsansätze versucht:

1. Anwendung der zweiten Binomische Formel \(\left(a-b\right)^{2} \) führt nicht zum Erfolg.

2. Anwendung der Formeln für pythagoreisches Zahlentripel:

Die drei Formeln
\(a=m^2−n^2;\phantom{10}b=2\cdot{m}\cdot{n};\phantom{10}c=2\cdot{m} + 2\cdot{n}\)

in Verbindung mit dem Satz des Pythagoras \(a^{2}=c^{2}-b^{2}\)

sollten ganzzahlige Werte ergeben.

Leider bin ich hier auch nicht weiter gekommen.

Comments

Was meinst du mit Lösungen? Da steht nur ein Term und keine Gleichung.

Wenn du damit meinst, dass die Wurzel ganzzahlig ist: Für p=q ist das bspw immer der Fall. Denn 9p^4 ist stets eine Quadratzahl.

Answer 1

Man kann 3p ausklammern.

4q^3 - p^3 müsste dann ebenfalls den Faktor 3 und den Faktor p enthalten und der Restterm müsste eine Quadratzahl sein.

PS: Ich "sehe" eine Lösung für p=q=1.

PPS: Jetzt sehe ich, dass p=q immer eine Lösung des Problems liefert.

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Wie Du vielleicht selbst erkannt hast, bin ich nicht unbedingt an den "trivialen" Lösungen interessiert. Deswegen brauche ich die Aufgabe auch nicht online zu stellen. :-)