Aufgabe:
Finden Sie eine explizite Lösung des AWP
$$ tu^2 + u - tu' = 0, u(1) = 1 $$
Multiplizieren Sie die Differentialgleichung mit M(u) für eine geeignete Funktion M.
Unser Ansatz war:
$$ \text{Wir wählen } M(u) = \frac{1}{u^2}. \text{ Durch Multiplikation der DGL mit } M(u) $$
$$ t + \frac{1}{u} - t\frac{u'}{u^2} = 0. $$
$$ \text{Wir erkennen, dass die linke Seite der Gleichung die Ableitung von } \left(t - \frac{1}{u}\right) \text{ nach } t \text{ ist. Integrieren wir } : $$
$$ \int (t + \frac{1}{u} - t\frac{u'}{u^2}) dt = \int 0 dt. $$
$$ \text{Dies führt zur Gleichung:} $$
$$ t - \frac{1}{u} = C, $$
$$ \text{Wir setzen den Anfangswert } u(1) = 1 \text{ in die Gleichung ein:} $$
$$ 1 - \frac{1}{1} = C, $$
$$ \text{was } C = 0 \text{ ergibt.} $$
$$ \text{Daher lautet die explizite Lösung des AWP:} $$
$$ t - \frac{1}{u} = 0. $$
$$ \text{Um } u \text{ zu isolieren, multiplizieren wir die Gleichung mit } u: $$
$$ tu - 1 = 0. $$
$$ \text{Daher ist die explizite Lösung des AWP:} $$
$$ u(t) = \frac{1}{t}. $$
$$ \text{Die Funktion } u(t) = \frac{1}{t} \text{ erfüllt die DGL } tu^2 + u - tu' = 0 \text{ für alle } t \text{ und erfüllt den Anfangswert } u(1) = 1. $$
