Eindeutige Lösung bei AWP

Question

Aufgabe:

Sei A∈ℝ^d×d und b∈C⁰(ℝ,ℝ^d). Weiter sei B∈C⁰(ℝ,ℝ^d×d)
a) Zeige, dass jedes AWP zur Gleichung u'(t) = Au(t) + b(t) eine eindeutige Lösung u:ℝ→ℝ^d besitzt.
b) Gilt das gleiche auch für u'(t) = B(t)u(t) + b(t) ? Beweise deine Hypothese.

Problem/Ansatz:

Bei der (a) würde ich versuchen das Ganze mit Hilfe von Picard-Lindelöf zu zeigen, etwa so :
||F(t,x) - F(t,y)|| = ||Ax + b(t) - (Ay + b(t)|| = ||A(x-y)|| ≤ |A| ||x-y||.
Jetzt würde ich gerne wissen. Ist mein Ansatz falsch und könnte mir vielleicht jemand bei der (b) weiterhelfen ? Vielen Dank schonmal im Voraus.

Comments

Grundsätzlich liefert der Satz von PL nur lokale eindeutige Lösbarkeit.

Im Falle einer konstanten Matrix A hat man eine explizite Lösungsdarstellung auf ganz R (über die Matrix-Exponentialfunktion), womit die Frage geklärt ist.

Im Fall der Matrix B(t) liefert PL eben auch eine lokal eindeutige Lösung. Diese kann auf ganz R fortgesetzt werden, weil das AWP überall lokal Lipschitz-stetig ist - es seie denn die Lösung divergiert in endlicher Zeit gegen Unendlich.

Entweder muss Du jetzt selbst klären, ob das eintreten kann, oder Ihr hattet diesbezügliche Sätze in der Vorlesung - irgendwelche Wachstumbeschränkungen für B(t)?. Allerdings weiß ich aus dem Stehgreif auch nicht, was genau herauskommt.....

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Hallo Mathhilf, erstmal vielen Dank. Verstehe ich das also richtig, dass ich bei der (a) die Lösung konkret ausrechnen soll? Aber das zeigt dann doch nur, dass wir eine Lösung auf ganz ℝ haben. Fehlt mir da nicht noch die Eindeutigkeit - oder habe ich etwas übersehen ?

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Hallo,

mit meinem Kommentar wollte ich nur ein paar Stichpunkte nennen, wonach in Deinem Skript suchen könntest.

Was die Eindeutigkeit angeht, die ist in beiden Fällen gewährleistet, weil die rechte Seite lokal Lipschitz-Stetig ist.

Gruß Mathhilf

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Ok, wenn ich also die explizite Lösungsdarstellung angebe und die Eindeutigkeit durch Lipschitz-Stetigkeit wie in meiner gestellten Frage zeige wäre das schon die Antwort für die (a)?

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Ja. Wie gesagt, gehe ich davon aus, dass Ihr dazu einschlägige Sätze habt.