Zeigen Sie, dass die Funktion, f in 0 e R^n total differenzierbar ist und finden Sie df(0).

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie eine Funktion f: Rⁿ → R mit der Eigenschaft |f(x)| ≤ ||x||². Zeigen Sie, dass die Funktion, f in 0 ∈ Rⁿ total differenzierbar ist und finden Sie df(0).

Problem/Ansatz:

… Definition totale Differenzierbarkeit

lim \( \frac{|f(h) - f(0) - df(0)*h|}{||h||} \)               h und 0 sind Vektoren

Ich frage mich wie man jetzt f(0) bestimmt?

|f(x)| ≤ ||x||²  => |f(0)| ≤ ||0||² Was passiert hier wenn man die Betragsstriche weglässt?

Hat jemand eine Idee?

LG

Comments

|x|=0 genau dann wenn x=0. Oder?

Genauso leicht lässt sich vermuten, was df(0) ist....

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Also ist f(x) = 0 . Mein Tutor meinte, dass es als Begründung zu wenig sei...

was passiert eigentlich wenn man bei |f(x)| die Betragsstriche weglässt? Es sollte dann doch immer noch Null sein

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Hallo

wenn ein Betrag <=0 ist ist er 0, und damit auch f(0)=0

Gruß lul

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ok. Eine letzte Frage dazu. Was ist nun df(0), etwa auch Null?

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Überprüfe doch einfach die von Dir genannte Bedingung mit df(0)=0....

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Habs jetzt so gemacht.

Text erkannt:

Wir wählen:
\( f(r)=\frac{1}{r^{2}} \overrightarrow{Q_{r}} \)
Divergenz in Kugelkoordinaten für Komponente in radialer Richtung
\( \nabla \cdot \vec{U}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}(\underbrace{r^{2} \frac{1}{r^{2}}}_{1})=0 \)
Aufgabe 2a)
\( |x|=0 \) genau dann wenn \( x=0 \) und damit auch \( f(0)=0 \)
Aufgabe 3 c)

Ist das korrekt so oder nicht?

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Es seiht so aus, als hättest Du f(h)=0 gesetzt? Dafür gibt es keinen Grund.

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das verstehe ich nicht. h geht ja gegen Null

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Wenn in einem Bruch Zähler und Nenner gegen 0 gehen, kannst Du nicht ohne Begründung den Zähler gleich 0 setzen.

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also muss ich das h im Nenner iwie kürzen?

Answer 1

Aus der angegebenen Eigenschaft folgt direkt f(0)=0. Wir vermuten \(df(0)=0\) (also 0-Zeilenvektor). Wir bestätigen das indem wir die Definition prüfen:

$$\frac{1}{\|h\|}|f(h)-f(0)-df(0)h|=\frac{1}{\|h\|}|f(h)| \leq \frac{1}{\|h\|}\|h\|^2=\|h\| \to 0$$

Comments

Verstehe den letzten Schritt nicht wirklich...

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Meinst Du alles hinter "prüfen"? Oder was verstehst Du nicht?