Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & :(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & :(x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( f \) total differenzierbar ist mit stetiger Jacobi-Matrix.
Problem/Ansatz:
Leider verstehe ich diese Aufgabe nicht so ganz, was genau gefragt ist, aber Vermutung wäre zuerst die totale Differenzierbarkeit der obigen Funktion zu zeigen. Und dann zu zeigen, dass ihre Jacobi-Matrix eine stetige Funktion ist.
Um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen, schaut man sich getrennt die beiden Fälle für \( = (0,0) \) und \( \ne (0,0) \) an:
Für \( f(x,y) \ne (0,0) \): ist echt leicht zu zeigen, denn erstens liegt wegen der Komposition stetiger Fkt. eine stetige Fkt. vor, danach kann man die beiden partiellen Ableitungen bestimmen -> Dann hat man schonmal eine stetig partiell differenzierbare Fkt. vorliegen und dann gibt es einen Satz dafür, dass man aus der stetig partiell Differenzierbarkeit direkt die totale Differenzierbarkeit folgern kann.
Für \( f(x,y) = (0,0) \): ist auch die partielle Differenzierbarkeit und nur an der Stetigkeit bleibe ich stecken.
Zudem verstehe ich den letzten Teil mit der Jacobi-Matrix nicht so ganz.
Erstens: macht meine obige Überlegung Sinn?
Zweitens: kann mir Jemand bei der Stetigkeit beim (0,0) Fall weiterhelfen und mir erklären, was mit der Jacobi-Matrix gemeint ist?
Vielen Dank schonmal im Voraus :)
