Lineare Abbildung bestimmen Quotientenraum

Question

Aufgabe:

Sei \( U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x-y=z+t=0\right\} \subseteq \mathbb{R}^{4} \). Bestimmen Sie:
(a) Eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} / U \).
(b) Eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit \( \operatorname{im} f=U \) und \( f^{2}=0 \).

Problem/Ansatz:

a) der Span ist {(1,2,0,0),(0,0,1,-1)}

Aber wie mache ich daraus jetzt die Matrix in b)?

Comments

Soll es f^2=0 sein oder f^2=f?

Und wovon soll der von Dir angegebene Span ein Spsn sein? Von U?

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Ja exakt. Die der Span der da steht ist der von U und nicht von der a).

f^2=0 soll es sein

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Hier stand Unsinn, hatte mich verlesen

Answer 1

Hallo,

zunächst ergänzen wir Deine Basis von U zu einer Basis von \(\R^4\):
$$b_1:=(1,2,0,0), \quad b_2:=(0,0,1,-1), \quad b_3:=(2,-1,0,0), \quad b_4:=(0,0,1,1)$$

Dann ist \(\R^4=U \oplus span(b_3,b_4)\). Daher ist \(([b_3],[b_4])\) eine Basis für \(\R^4 \setminus U\).

Aber wie mache ich daraus jetzt die Matrix in b)?

Gefragt ist nur nach einer linearen Abbildung. Aus den Bedingungen folgt, dass \(U \sube Kern f \). Daher definieren wir f über die o.g. Basis:

$$f(\sum_{i=1}^4s_ib_i):=s_3b_1+s_4b_2$$

Gruß Mathhilf

Comments

Aber es ist doch möglich eine Matrix aufzustellen oder?

Answer 2

Aber es ist doch möglich eine Matrix aufzustellen oder?

Klar. Die Spalten der darstellenden Matrix bzgl.

der Basis \((b_1,b_2,b_3,b_4)\) enthalten die Bilder dieser Basisvektoren

bzgl. dieser Basis \((b_1,b_2,b_3,b_4)\):

\(f(b_1)=0\cdot b_1+0\cdot b_2+0\cdot b_3+0\cdot b_4\)
\(f(b_2)=0\cdot b_1+0\cdot b_2+0\cdot b_3+0\cdot b_4\)
\(f(b_3)=1\cdot b_1+0\cdot b_2+0\cdot b_3+0\cdot b_4\)
\(f(b_4)=0\cdot b_1+1\cdot b_2+0\cdot b_3+0\cdot b_4\).

In dieser Basis hat die darstellende Matrix von \(f\) die Gestalt

\(\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

Die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis bekommst

du mit der Matrixformel für Basiswechsel.