Sei \( F \) der Vektorraum aller Polynome in \( x \) mit reellen Koeffizienten. Die Abbildung \( f: F \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) sei gegeben durch
\( \forall t(x) \in \mathbb{R}[x] \quad f(t(x)):=\left(t(0), t^{\prime}(0), t^{\prime \prime}(0), t^{\prime \prime \prime}(0)\right)^{T} . \)
(a) Beweise, dass \( f \) lineare Abbildung ist!
Ich bin mir unsicher ob meine Lösung richtig ist...
Text erkannt:
Sei \( F \) der Vektorraum aller Polynome in \( x \) mit reellen Koeffizienten. Die Abbildung \( f: F \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) sei gegeben durch
\( \forall t(x) \in \mathbb{R}[x] \quad f(t(x)):=\left(t(0), t^{\prime}(0), t^{\prime \prime}(0), t^{\prime \prime \prime}(0)\right)^{T} \)
(a) Beweise, dass \( f \) lineare Abbildung ist!
\( \begin{array}{l} \text { Additivitut: } f\left(t_{1}(x)+t_{2}(x)\right)=f\left(t_{1}(x)\right)+f\left(t_{2}(x)\right) \\ f\left(t_{1}(0)+t_{2}(0), t_{1}^{\prime}(0)+t_{2}^{\prime}(0), t_{1}^{\prime \prime}(0)+t_{2}^{\prime \prime}(0), t_{1}^{\prime \prime}(0)+t_{2}^{\prime \prime}(0)\right) \\ =f\left(t_{1}(0)\right)+f\left(t_{2}(0)\right)+f\left(t_{1}^{\prime}(0)\right)+f\left(t_{2}^{\prime}(0)\right)+f\left(t_{1}^{\prime \prime}(0)\right)+f\left(t_{2}^{\prime \prime}(0)\right) \\ \quad+f\left(t_{1}^{\prime \prime \prime}(0)\right)+f\left(t_{2}^{\prime \prime}(0)\right) \quad \forall t_{1}(x), t_{2}(x) \in \mathbb{R}^{4} \end{array} \)
Homoyeniliat: \( f(\lambda t(x)=\lambda f(t(x)) \)
\( \begin{aligned} & f\left(\lambda t(0), \lambda t^{\prime}(0) \lambda t^{\prime \prime}(0), \lambda t^{\prime \prime}(0)\right) \\ = & \lambda\left(f\left(t(0), t^{\prime}(0), t^{\prime \prime}(0), t^{\prime \prime}(0)\right)\right) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall t(x) \in \mathbb{R}^{4} \end{aligned} \)
