Beweise, dass ... eine lineare Abbildung ist

Question

Aufgabe:

Beweise, dass f: ℝ[X]₂ → ℝ[X]₂: aX² + bX + c ↦ a(X+1)² + b(X+1) + c eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

Aloha :)

Es reicht die Abbildungsmatrix \(F\) für \(f\) angeben, womit dann die Linearität der Abbildung automatisch gezeigt ist, denn Abbildungsmatrizen stellen stets lineare Abbildungen dar.

$$\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=ax^2+bx+c\mapsto a(x+1)^2+b(x+1)+c$$$$\quad=ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)$$$$\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\2a+b\\a+b+c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\left[a\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]$$$$\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{=F}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$

Bezüglich der Basis \(\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\) wir die Abbildung \(f\) durch die Matrix \(F\) beschrieben.

Daher ist die Abbildung \(f\) linear.

Answer 2

Zeige dass

\(\begin{aligned}&f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + f(a_2X^2 + b_2X + c_2) \\=\,& f\left(\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + (a_2X^2 + b_2X + c_2)\right)\end{aligned}\)

und

\(\begin{aligned}&f\left(k\cdot\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\right)\\=\,& k\cdot f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\end{aligned}\)

ist.

Answer 3

\(B_1=\{X^2,X,1\}\) und \(B_2=\{ (X+1)^2, X+1, 1\}\) sind Basen von \(V=\mathbb{R}[X]_{2}\).

Bezügl. dieser Basen ist \(f\) nichts Anderes als

\((a,b,c)_{B_1}^T\mapsto (a,b,c)_{B_2}^T\), also linear.