Richtig gerechnet? Bestimmen Sie die Komposition

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Zuordnungsvorschriften f1(x) = x^2-1 und f2(x) =1/(x + 1):

Bestimmen Sie die Kompositionen f1° f2 und f2 ° f1 sowie deren maximalen Defnitionsbereiche.

Problem/Ansatz:

Hab ich das richtig gerechnet???

\( \begin{array}{l} f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{1} x \mapsto x^{2}-1, d \cdot h f_{1}(x)=x^{2}-1 \\ f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{1} x \mapsto \frac{1}{x+1}, d \cdot h f_{2}(x)=\frac{1}{x+1} \\ \Rightarrow\left(f_{1} \circ f_{2}\right)(x)=f_{1}\left(f_{2}(x)\right)=f_{1}\left(\frac{1}{x+1}\right) \\ =\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}-1\\ \Rightarrow\left(f_{2} \circ f_{1}\right)(x)=f_{2}\left(f_{1}(x)\right)=f_{2}\left(x^{2}-1\right) \\ =\frac{1}{\left(x^{2}-1+1\right)}\end{array} \)

Comments

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Woher kommt die 2 im Nenner des ersten Ergebnisses?

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Nach meiner Erinnerung stand hier vorher ein Foto einer handschriftlichen richtigen Rechnung (passende Antwort unten). Aber die Frage ist von einem dritten editiert worden (warum eigentlich, schafft hier doch Verwirrung), nun steht nur noch der maschinell erkannte Text da, und da ist halt die falsche 2 drin.

Answer 1

Aloha :)

$$\pink{f_1(x)=x^2-1}\quad;\quad \green{f_2(x)=\frac{1}{x+1}}$$

$$(f_1\circ f_2)(x)=\left(\green{\frac{1}{x+1}}\right)^2-1=\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=\frac{1-(x+1)^2}{(x+1)^2}$$$$\phantom{(f_1\circ f_2)(x)}=\frac{1-(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=-\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$$

$$(f_2\circ f_1)(x)=\frac{1}{(\pink{x^2-1})+1}=\frac{1}{x^2}$$