Beweise zu K-Vektorraum V und f, g: V -> V eine lineare Abbildung

Question

Hallöle ,

ich melde mich auch mal wieder :)

Ich brauche mal wieder Hilfe bei beweisen.

Also:

Gegegebn ist ein  K-Vektorraum V und f, g: V -> V eine lineare Abbildung. Beweisen Sie

a) Ist v ∈ V ein EIgenvektor von f °g zum EIgenwert λ ∈ K und ist g (v) ≠ 0, so ist g(v) Eigenvektor von g °f zum Eigenwert λ.

b) Ist V endlichdimesional, so haben f °g und g°f dieselben Eigenwerte

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Ist v ∈ V ein EIgenvektor von f °g zum EIgenwert λ ∈ K

Laut Definition bedeutet das u.a.

        f(g(v)) = λv.

Wendet man g auf beiden Seiten der Gleichung an, dann bekommt man

        g(f(g(v))) = g(λv).

Wegen Linearität ergibt das

        g(f(g(v))) = λg(v).

ist g(v) Eigenvektor von g °f zum Eigenwert λ.

Laut Definition bedeutet das u.a.

        g(f(g(v))) = λg(v).

F̶a̶n̶g̶f̶r̶a̶g̶e Quizfrage: Wo habe ich g(v) ≠ 0 verwendet?

Comments

oswald

Quizfrage: Wo habe ich g(v) ≠ 0 verwendet

Das ist du gar nicht verwendet, also ist g(v) auch ein eigenvektor von g°f??

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Das ist du gar nicht verwendet

Das ist richtig.

Warum wird dann in der Aufgabenstellung g(v) ≠ 0 vorausgesetzt?

also ist g(v) auch ein eigenvektor von g°f??

Das ist die Behauptung, die du beweisen musst. Ich habe dazu den Anfang gemacht. Du musst den Beweis noch zuende führen.

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Hallo Oswald,

Ich versteh es einfach nicht

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Was verstehst du denn?