Lineare Abbildung von Körpern im Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) und sei \( L: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft \( L^{2}=L \).
Zeigen \( \mathrm{Sie}^{1} \) :
a) \( \operatorname{det}(L) \in\{0,1\} \)
b) Ist \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( L \), so ist \( \lambda \in\{0,1\} \).
Sei nun \( V=\mathbb{R}^{3} \). Wir betrachten die lineare Abbildung

P: ℝ³ → ℝ³, \( \begin{pmatrix} x \\ y \\  z \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} x \\ y \\  -y \end{pmatrix} \).

c) Zeigen Sie: \( P^{2}=P \).

d) Bestimmen Sie \( \operatorname{ker}(P) \) und \( \operatorname{im}(P) \). Zeigen Sie explizit, dass \( \mathbb{R}^{3}=\operatorname{im}(P) \oplus \operatorname{ker}(P) \).

e) Berechnen Sie \( \operatorname{det}(P) \).
f) Berechnen Sie die Eigenwerte \( \lambda \in \mathbb{R} \) von \( P \) und bestimmen Sie die zugehörigen Launchpad Eigenräume \( E_{\lambda} \).

¹Mit 0 und 1 sind hierbei das neutrale Element 0_K der Addition bzw. das neutrale Element 1_K der
Multiplikation in K gemeint.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar

Comments

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss

Willst du das jetzt bei jeder Aufgabe sagen?

Also z.B. \(P^2=P\) zu zeigen ist nicht schwierig.
Fange doch einfach mal an!

Answer 1

a)  \( L^{2}=L \)

<=>  \( L^{2}-L = 0 \)

<=>    \( L \cdot (L-E) = 0 \)

==>    \( det(L \cdot (L-E)) = 0 \)

==>    \( det(L=0) \text{ oder }det(L-E) = 0 \)

==>     \( \operatorname{det}(L) \in\{0,1\} \).

b) Ist \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( L \), so

gibt es ein v∈V\{0} mit  \( L(x)= \lambda \cdot x \)

==>    \( L^2(x) = L(x)= \lambda \cdot x \)

Andererseits nach Def. von L^2

\( L^2(x) = L(L(x)) = L( \lambda \cdot x)  \)

wegen der Linearität also

\(  = \lambda \cdot L(x) =   \lambda \cdot (\lambda x)  = \lambda^2 x \)

Da x≠0   ==>   \( \lambda   = \lambda^2  \)

==>  \( \lambda - \lambda^2  =0 \)

==>  \( \lambda(1  - \lambda)   =0 \)

==>  \( \lambda=0     \text{ oder } \lambda=1  \)

Ansonsten: s. Kommentar.

Comments

Der Schluss

Det(L-E)=0 => Det(L)=1

Ist falsch.

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Scheint irgendwie egal zu sein