Vektorräume und Körper - lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Seien \( \varphi: U \rightarrow V \) und \( \psi: V \rightarrow W \) lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen \( U, V, W \) über einem Körper \( K \).

Zeigen Sie:

(1) Die Hintereinanderausführung \( \varphi \psi: U \rightarrow W \) ist eine lineare Abbildung.
(2) \( \operatorname{Kern}(\psi)=\{v \in V | v \psi=0\} \) ist ein Unterraum von \( V \).
(3) Bild \( (\psi)=\{v \psi | v \in V\} \) ist ein Unterraum von \( W \).
(4) Aus \( V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{r}\right\rangle \) folgt Bild \( (\psi)=\left\langle v_{1} \psi, \ldots, v_{r} \psi\right\rangle \)
(5) \( \operatorname{dim} \operatorname{Bild}(\psi) \leq \operatorname{dim} V \)

Answer 1

Zu (1):

Für eine lineare Abbildung brauchst du zwei Eigenschaften und zwar, dass du addieren und skalarmultiplizieren sowohl im Start-, als auch im Zielraum darfst, ohne dass das die Abbildung beeinträchtig. Formal heißt das, du musst prüfen, ob für alle \(u, u'\in U\) und \(\lambda\in K\) gilt:

\( \varphi\psi(u+u')=\varphi\psi(u)+\varphi\psi(u')=\varphi(\psi(u))+\psi(\varphi(u')) \)

\( \varphi\psi(\lambda\cdot u)=\lambda\cdot \varphi\psi(u)=\psi(\varphi(u))\)

Dabei solltest du dir Gedanken machen, ob die Abbildungen überhaupt wohldefiniert sind, d.h. z.B. ob das Element \(\varphi(u)\) überhaupt im Definitionsbereich von \(\psi\) liegt.

Zu (2)/(3):

Um zu zeigen, dass eine Menge ein Unterraum eines Vektorraums ist brauchst du drei Eigenschaften zu zeigen, nämlich, dass die Menge nicht-leer ist und abgeschlossen bzgl. innerer Addition und Skalarmultiplikation. Oft kannst du zu Ersterem am einfachsten zeigen, dass das neutrale Element in besagter Menge liegt (nach Konstruktion) und dann prüfst du, ob für alle \(x,x' \in Ker(\psi), \lambda\in K\) (bzw.\(y, y'\in Bild(\psi)\) ) gilt:

\( x+x'\in Ker(\psi), \lambda \cdot x\in Ker(psi)\quad \text{bzw.}\, y+y'\in Bild(\psi), \lambda\cdot y\in Bild(\psi) \)

Zu (4):

Für diese Aufgabe musst du dir klarmachen, was \(\left<.\right>\) bedeuted, nämlich, dass du alle Vektoren \(v\in V\) aus diesen Elementen linear Kombinieren kannst. Also dass für alle \(v\in V\) eine Darstellung der Form:

\( v=\sum_{i=1}^{r}{a_{i}v_{i}} \quad \text{mit geeigneten \(a_{i}\in K\)} \)

existiert. D.h. für irgendeinen beliebigen Vektor \(v\in V\) überlegst du dir, was bei Anwendung von \(\psi\) passiert.

\( \psi(v')=\psi(\sum_{i=1}^{r}{a_{i}v_{i}}) \)

Denke dabei an die Eigenschaften linearer Abbildungen

Zu (5):

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Basisvektoren, eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. In (4) hast du gesehen, dass jedes Erzeugendensystem von V unter \(\psi\) ein Erzeugendensystem von Bild(\(\psi\)) ergibt, mit geausovielen Elementen. Nun gilt das auch für linear Unabhängige Erzeugendensysteme (sprich Basen), aber die Lineare Unabhängigkeit muss durch eine lineare Abbildung im Allgemeinen nicht erhalten bleiben.