Aufgabe:
Beweise, dass f: ℝ[X]₂ → ℝ[X]₂: aX2 + bX + c ↦ a(X+1)2 + b(X+1) + c eine lineare Abbildung ist.
Aloha :)
Es reicht die Abbildungsmatrix FFF für fff angeben, womit dann die Linearität der Abbildung automatisch gezeigt ist, denn Abbildungsmatrizen stellen stets lineare Abbildungen dar.
(x2x1)(abc)=ax2+bx+c↦a(x+1)2+b(x+1)+c\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=ax^2+bx+c\mapsto a(x+1)^2+b(x+1)+c(x2x1)⎝⎛abc⎠⎞=ax2+bx+c↦a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx+b+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c)\quad=ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)=ax2+2ax+a+bx+b+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=(x2x1)(a2a+ba+b+c)=(x2x1)[a(121)+b(011)+c(001)]\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\2a+b\\a+b+c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\left[a\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=(x2x1)⎝⎛a2a+ba+b+c⎠⎞=(x2x1)⎣⎢⎡a⎝⎛121⎠⎞+b⎝⎛011⎠⎞+c⎝⎛001⎠⎞⎦⎥⎤=(x2x1)(100210111)⏟=F(abc)\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{=F}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=(x2x1)=F⎝⎛121011001⎠⎞⎝⎛abc⎠⎞
Bezüglich der Basis (x2x1)\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}(x2x1) wir die Abbildung fff durch die Matrix FFF beschrieben.
Daher ist die Abbildung fff linear.
Zeige dass
f(a1X2+b1X+c1)+f(a2X2+b2X+c2)= f((a1X2+b1X+c1)+(a2X2+b2X+c2))\begin{aligned}&f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + f(a_2X^2 + b_2X + c_2) \\=\,& f\left(\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + (a_2X^2 + b_2X + c_2)\right)\end{aligned}=f(a1X2+b1X+c1)+f(a2X2+b2X+c2)f((a1X2+b1X+c1)+(a2X2+b2X+c2))
und
f(k⋅(a1X2+b1X+c1))= k⋅f(a1X2+b1X+c1)\begin{aligned}&f\left(k\cdot\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\right)\\=\,& k\cdot f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\end{aligned}=f(k⋅(a1X2+b1X+c1))k⋅f(a1X2+b1X+c1)
ist.
B1={X2,X,1}B_1=\{X^2,X,1\}B1={X2,X,1} und B2={(X+1)2,X+1,1}B_2=\{ (X+1)^2, X+1, 1\}B2={(X+1)2,X+1,1} sind Basen von V=R[X]2V=\mathbb{R}[X]_{2}V=R[X]2.
Bezügl. dieser Basen ist fff nichts Anderes als
(a,b,c)B1T↦(a,b,c)B2T(a,b,c)_{B_1}^T\mapsto (a,b,c)_{B_2}^T(a,b,c)B1T↦(a,b,c)B2T, also linear.
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