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Aufgabe:

Beweise, dass f: ℝ[X]₂ → ℝ[X]₂: aX2 + bX + c ↦ a(X+1)2 + b(X+1) + c eine lineare Abbildung ist.

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Aloha :)

Es reicht die Abbildungsmatrix FF für ff angeben, womit dann die Linearität der Abbildung automatisch gezeigt ist, denn Abbildungsmatrizen stellen stets lineare Abbildungen dar.

(x2x1)(abc)=ax2+bx+ca(x+1)2+b(x+1)+c\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=ax^2+bx+c\mapsto a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx+b+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c)\quad=ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)=(x2x1)(a2a+ba+b+c)=(x2x1)[a(121)+b(011)+c(001)]\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\2a+b\\a+b+c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\left[a\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=(x2x1)(100210111)=F(abc)\quad=\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{=F}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}

Bezüglich der Basis (x2x1)\begin{pmatrix}x^2 & x & 1\end{pmatrix} wir die Abbildung ff durch die Matrix FF beschrieben.

Daher ist die Abbildung ff linear.

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Zeige dass

f(a1X2+b1X+c1)+f(a2X2+b2X+c2)=f((a1X2+b1X+c1)+(a2X2+b2X+c2))\begin{aligned}&f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + f(a_2X^2 + b_2X + c_2) \\=\,& f\left(\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right) + (a_2X^2 + b_2X + c_2)\right)\end{aligned}

und

f(k(a1X2+b1X+c1))=kf(a1X2+b1X+c1)\begin{aligned}&f\left(k\cdot\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\right)\\=\,& k\cdot f\left(a_1X^2 + b_1X + c_1\right)\end{aligned}

ist.

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B1={X2,X,1}B_1=\{X^2,X,1\} und B2={(X+1)2,X+1,1}B_2=\{ (X+1)^2, X+1, 1\} sind Basen von V=R[X]2V=\mathbb{R}[X]_{2}.

Bezügl. dieser Basen ist ff nichts Anderes als

(a,b,c)B1T(a,b,c)B2T(a,b,c)_{B_1}^T\mapsto (a,b,c)_{B_2}^T, also linear.

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