Aufgabe:
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Aufgabe H 127. Extrema auf berandetem Bereich
Wir betrachten das Dreieck \( D:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leqq x_{1} \leqq x_{2}+1 \leqq 2\right\} \), sowie die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \)
Gehen Sie wie folgt vor, um globale Extrema von \( f \) auf \( D \) zu bestimmen:
(a) Skizzieren Sie \( D \).
(b) Bestimmen Sie Parametrisierungen \( h_{1}, h_{2} \) und \( h_{3} \) für die Seiten von \( D \).
(c) Bestimmen Sie ein \( x \in D \) so, dass \( f(x)=\min \{f(y) \mid y \in D\} \) ist.
(d) Bestimmen Sie ein \( x \in D \) so, dass \( f(x)=\max \{f(y) \mid y \in D\} \) ist.
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Aufgabe H 127. Extrema auf berandetem Bereich
Wir betrachten das Dreieck \( D:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leqq x_{1} \leqq x_{2}+1 \leqq 2\right\} \), sowie die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \)
Gehen Sie wie folgt vor, um globale Extrema von \( f \) auf \( D \) zu bestimmen:
(a) Skizzieren Sie \( D \).
(b) Bestimmen Sie Parametrisierungen \( h_{1}, h_{2} \) und \( h_{3} \) für die Seiten von \( D \).
(c) Bestimmen Sie ein \( x \in D \) so, dass \( f(x)=\min \{f(y) \mid y \in D\} \) ist.
(d) Bestimmen Sie ein \( x \in D \) so, dass \( f(x)=\max \{f(y) \mid y \in D\} \) ist.
Text erkannt:
\( H 127 a) \quad D:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \quad \mid-1 \leqq x_{1} \leqq x_{2}+1 \leqq 2\right\} \)
Formel fär Sbreclan: \( \overrightarrow{P_{1} R_{2}}: K(t)=P_{1}+t\left(P_{2} \cdot P_{1}\right) \)
b)
\( \begin{array}{l} \text { 1. } \quad h_{1} \rightarrow \quad h_{1}(t)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ -2-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} -1 \\ -3 \end{array}\right), t \in[0,1] \\ \text { 2. } \quad h_{1} \rightarrow \quad h_{2}(t)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)+t \quad\left(\begin{array}{c} -1-1-1 \\ -2-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \end{array}\right), 1 t \in[0,1] \\ \text { 3. } h_{j} \rightarrow \quad h_{3}(t)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 2+1 \\ 1-1 \\ 1-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}\right), t \in[0,] \\ \end{array} \)
Bei 1. in blau also \( x_{1}-1 \) liegt eine lineare Gleichurg beringlich \( x_{2} \) vor. Im Bezug of \( x_{1} \) wäre die selbe shrecle mit \( x_{2}+1 \) ausratricker.
Ich habe die a und die b gelöst, doch brauche bei der c und d Hilfe. Ich hatte die Idee die Funktionen zu verketten und davon den gradiendten zu rechnen. Also f(h1(t)) = (2-3t)^2 + (1-3t)^2 und das dann auch mit h2 und h3 zu machen. Den Punkt der sich mit diesem t dann ergibt würde ich in die x1^2 und x2^2 von f(x) einsetzen und schauen welcher Wert sich ergibt. Das kleinste Ergebnis wäre ein Minima und das größte ein Maxima. Wäre das so korrekt?
