Aufgabe:
Text erkannt:
(a) Bestimmen Sie Index und Signatur der Matrix
\( S_{\lambda}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 \lambda & -\lambda \\ 1 & -\lambda & 0 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(3,3 ; \mathbb{R}) \)
in Abhängigkeit von \( \lambda \in \mathbb{R} \).
Hinweis: Die explizite Berechnung der Eigenwerte von \( S_{\lambda} \) ist schwierig.
Problem/Ansatz:
Ich hatte versucht, da der erste Hauptminor -1 ist, zu zeigen, wann die Matrix negativ definit ist. Aber die beiden anderen Hauptminoren sind nie gleichzeitig positiv (der 2) und negativ (der 3). Jetzt weiß ich nicht wirklich wie ich daran noch an irgendwas kommen kann. Positiv Definit kann die Matrix nie sein, durch den ersten Hauptminoren.
Die Spur und die Determinante spucken auch nichts gescheites aus.
