Zeigen Sie, dass A orthogonal ist.

Question

Aufgabe:

Sei $A \in M(n, n ; \mathbb{R})$ eine symmetrische Matrix, deren Eigenwerte alle 1 oder -1 sind. Zeigen Sie, dass $A$ orthogonal ist.
Problem/Ansatz:

Symmetrisch heißt $$A=A^T$$ (transponiert)

$$det(A)=det(A^T)$$

da die EIgenwerte 1 und -1 sind folgt, da $$det(A)=x_1*....*x_n$$ mit $$x_1...x_n$$ eigenwerte

$$det(A)=det(A^T)=(-1)^k$$

$$det(A^{-1})= 1/det(A)$$ daraus folgt:

$$det(A^{-1})=1/(-1)^k=(-1)^k$$ somit ist

$$det(A^{-1})=det(A)$$ und da die Determinante entweder 1 oder -1 ist, eine symmetrische Matrix mit EW 1 und -1 orthogonal.

Stimmt das so? :D oder muss man irgendwie über die orthogonalität der Eigenvektoren und über die Diagonalmatrix von A das zeigen?

Answer 1

Du hast nur versucht zu zeigen, dass $\det A^{-1} = \det A$ ist.

Die Matrix A ist orthogonal genau dann, wenn

$A^TA =I$,

wobei $I$ die Einheitsmatrix ist.

$A$ ist laut Vorausetzung symmetrisch. Also ist zu zeigen, dass

$A^TA = A^2 =I$

Da A symmetrisch ist, kann man sie diagonalisieren:

$A = T\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n) T^{-1}$

Somit haben wir

$A^2 = T\operatorname{diag}(\lambda_1^2,\ldots ,\lambda_n^2) T^{-1} = TIT^{-1} = I$.

Fertig.