Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Extremalstellen der folgenden Funktion.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Extremalstellen der folgenden Funktion. Überprüfen Sie jeweils, ob es sich um Maxima bzw. Minima im Definitionsbereich handelt.

Text erkannt:

(ii) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=x^{3} e^{-3 x} \),

Problem/Ansatz:

Die erste und zweite Ableitung konnte ich mit einigem Aufwand berechnen. Nun muss ich ja die erste Ableitung gleich 0 setzen, also bei mir: 3x²*e^-3x - 3x³*e^-3x . Wie soll ich hier am besten vorgehen? Wenn ich durch e^-3x teile dann habe ich 3x² - 3x³  . Jetzt durch 3 teilen. Was dann? Hier habe ich dann einen Exponenten 2 und einen Exponenten 3, pq Formel geht hier dann ja nicht. Vermutlich ist es ganz offensichtlich, aber ich komme gerade nicht drauf...

Comments

x^2 ausklammern:

\( f(x)=x^{3} e^{-3 x}\\ f'(x)=-3 e^{-3 x}(x-1) x^{2} \)

Waagerechte Tangenten bei x=0 und x=1.

https://www.desmos.com/calculator/itm95qrgan

Sattelpunkt bei x =0, da kein Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung vorliegt.

Maximum bei x=1, da VZW von f' von + nach -.

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Die erste und zweite Ableitung konnte ich mit einigem Aufwand berechnen.

https://www.ableitungsrechner.net/

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alle lokalen Extrema und Extremalstellen

Was ist der Unterschied?

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Ich glaube, dass man mit angibt ob es Max oder Min ist und nicht nur die Stelle.

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Extrema sind Maxima bzw. Minima, also die max. bzw. min. Funktionswerte. Extremalstellen sind die Stellen, an denen das passiert, also die zugehörigen x-Werte.

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Es ist ja sinnvoll, zu verstehen was die Frage ist, bevor man versucht, sie zu beantworten.

Answer 1

Satz vom Nullprodukt. \(a\cdot b = 0\iff a=0\vee b=0\)

\( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=x^{3} e^{-3 x} \)

\(g'(x) = 3x^2\mathrm{e}^{-3x}-3x^3\mathrm{e}^{-3x}\)

\(\begin{aligned} &  & g'(x) & =0\\ & \iff & 3x^{2}\mathrm{e}^{-3x}-3x^{3}\mathrm{e}^{-3x} & =0\\ & \iff & \left(1-x\right)3x^{2}\mathrm{e}^{-3x} & =0\\ & \iff & 1-x & =0\quad\vee & 3x^{2}\mathrm{e}^{-3x} & =0\\ & \iff & 1-x & =0\quad\vee & 3x^{2} & =0\quad\vee & \mathrm{e}^{-3x} & =0\\ & \iff & x & =1\quad\vee & x & =0\end{aligned}\)

Comments

Danke,

noch eine kurze nachfrage: Wie genau kommt dieses (1-x) zustande? Klammerst du aus?

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Ich habs, danke

Answer 2

Ich weiß nicht, wie Du da auf 3 hoch irgendwas kommst (vielleicht ja auch nur Tippfehler?). Die Ableitung von \(x^3\) ist \(3x^2\), also ist \(g'(x)=3x^2e^{-3x}-3x^3e^{-3x}\).

Nun klammere aus was geht (ist hier einiges) und benutze den Satz vom Nullprodukt. Dividieren generell vermeiden, weil da Lösungen verloren gehen können.

Answer 3

\( g(x)=x^{3} * e^{-3 x}=\frac{x^{3}}{e^{3 x}} \)

Ableitung mit der Quotientenregel: \(  {\frac{ {Z´* N-Z* N´}}{N^2}} \)

\(Z=x^{3}\)     →    \(Z´=3*x^{2}\) 

\(N=e^{3 x}\)   →   \(N´=e^{3 x} *3 \)

\( g´(x)=\frac{3*x^{2}*e^{3 x}-x^{3}*e^{3 x} *3}{(e^{3 x})^2}=\frac{3*x^{2}-3*x^{3} }{e^{3 x}} \)

\( \frac{3*x^{2}-3*x^{3} }{e^{3 x}}=0   |*e^{3 x} \)

\(3*x^{2}-3*x^{3} =0 \)

\(x^{2}-x^{3} =0 \)

\(x^{2}*(1-x) =0 \)

Satz vom Nullprodukt:

\(x^{2} =0 \)

\(x_1=0 \)      \( g(0)= \frac{0^{3}}{e^{3 *0}}= \frac{0}{e^{0}}= \frac{0}{1}=0\)

\((1-x) =0 \)

\(x_2=1 \)      \( g(1)= \frac{1^{3}}{e^{3 *1}}= \frac{1}{e^{3}}≈0,05\)

Answer 4

Du schreibst: Wenn ich durch e^-3x teile dann habe ich 3x² - 3x³ . Jetzt durch 3 teilen. Was dann?

Dazu ist zu sagen: Eine Gleichung zwecks Lösung durch einen Term von x zu teilen, kann zum Verlust einer oder mehrerer Lösungen führen. Stattdessen sollte der Term von x (hier e^-3x) ausgeklammert werden. Man kann sogar x²e^-3x ausklammern und erhält 3·x²·e^-3x·(1-x)=0, Zwei der vier Faktoren können den Wert 0 annehmen und damit ein Produkt mit dem Wert 0 entstehen lassen.

Comments

Woher kommt denn dieses (1-x)? Ausklammern hat aber den selben Effekt wie teilen oder? Ich kann es auf beiden Seiten dann kürzen. Also sagen wir ich klammer erstmal nur e^-3x aus. Dann habe ich: 3x²  -3x³  . Soweit ok ja? Dann darf ich ja durch 3 teilen und habe x² - x³. Und jetzt nutze ich den Satz vom Nullprodukt, wie unter anderem @oswald vorschlägt? Bzw das geht hier ja nicht mehr, da ich kein Produkt mehr habe. So ungefähr war nämlich mein erster Ansatz.

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Woher kommt denn dieses (1-x)

x^2-x^3 = x^2*(1-x)

Man klammert gewöhnlich maximal aus d.h. den ggT.

Der ggT ist die kleinste Potenz.

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Ah stimmt, danke sehr.

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3x^2 -3x^3

=3x^2•1  -3x^2•x

=3x^2•(1-x)

:-)

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Lieber Mathe-Lehrling: Du schreibst: Ausklammern hat aber den selben Effekt wie teilen, oder?

Meine Antwort hatte ich bereits gegeben: Beim Teilen geht unter Umständen (wenn der Teiler gleich Null sein kann) eine Lösung verloren, beim Ausklammern nicht (wenn du den Satz vom Nullprodukt anwendest).

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Du hast Recht. Danke.